Детерминанта

Решавање на детерминанта

Детерминанта — вредност поврзана со квадратните матрици. Истата може да биде пресметана од елементите на матрицата со помош на аритметички израз, иако постојат и други начини за нејзино пресметување. Детерминантата содржи важни информации за матриците преку кои се претставени коефициентите на систем од линеарни равенки, но и за матрици кои соодветствуваат на линеарна трансформација на векторски простор. Во првиот случај, системот има единствено решение во оној случај кога детерминантата не е еднаква на нула; кога вредноста на детерминантата е нула, системот има многу решенија или пак ниту едно решение. Во вториот случај, трансформацијата има инверзна операција само доколку детерминантата не е еднаква на нула. На детерминантата на квадратна матрица со реални елементи и соодветствува и геометриска интерпретација: апсолутната вредност на детерминантата го претставува коефициентот со кој е помножена плоштината или волуменот (или некоја аналогна вредност во повисока димензија) при соодветната линеарна трансформација, а додека нејзиниот знак покажува дали трансформацијата задржува ориентации. Следствено, доколку 2 × 2 матрица со детерминанта -2 е употребена на регион од просторот кој има конечна плоштина, истата ќе го трансформира регионот во нов регион чија плоштина е двојно поголема и има обратна ориентација.

Детерминантите се појавуваат на најразлични места во математиката. Употребата на детерминантите во математичката анализа ја вклучува детерминантата на Јакобиан матриците при методот на замена за решавање на интеграли од функции со повеќе променливи. Исто така, тие се користат за дефинирање на карактеристичниот полином кој е најважна алатка при барање на карактеристичните вредности на матрица. Во одредени случаи, детерминантите се употребуваат и за поедноставување на изрази.

Детерминантата на матрица А се обележува со det(A), det A, or |A|. Во случај кога елементите на матрицата се експлицитно напишани, детерминантата се обележува така што заградите кои се користат за обележување на матрица се заменуваат со вертикални линии. На пример, детерминантата на матрицата

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$

се обележува

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}$

и ја има вредноста

$(aei+bfg+cdh)-(ceg+bdi+afh).\,$

Иако детерминантите се најчесто користени за матрици со реални или комплексни коефициенти, дефиницијата за детерминанта користи само собирање, одземање и множење, па може да биде дефинирана и за квадратни матрици чии елементи припаѓаат на било кој комутативен прстен. Следствено, детерминантата на матрица чии елементи се цели броеви ќе биде цел број, а матрицата има инверзна матрица со цели броеви ако и само ако детерминантата е еднаква на 1 или -1 (бидејќи тие претставуваат единствените инвертибилни елементи во множеството на цели броеви). За квадратни матрици со елементи кои припаѓаат на некомутативен прстен, како на пример кватернионите, не постои единствена дефиниција за детерминантата, како и дефиниција која ги има истите својства како детерминантите во комутативни прстени.

Наводи

• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (второ. изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3

Надворешни врски

• Семрежен прилог за пресметување на детерминанти и решавање на системи од линеарни равенки Архивирано на 21 февруари 2014 г.
• Интерактивен софтвер и туторијал
• Калкулатор за матрици
• Пресметај детерминанти на матрици до шести ред користејќи Лапласова експанзија. Архивирано на 4 декември 2008 г.
• Матрици и линеарна алгебра
• Едноставно објаснување за детерминанти. Архивирано на 25 мај 2009 г.
• Видео за пресметување на детерминанти на nxn матрица. (Khan Academy) Архивирано на 25 март 2010 г.
• Калкулатор за матрици
• Изведување на формулата за детерминанта