Од Википедија — слободната енциклопедија
Поворка од импулси како бесконечен ред на Диракова делта функција на интервали од Т. Во математиката, поворка импулси (исто така Дираков чешел и функција на примеркување во електротехниката ) е периодична Шварцова распределба составена од Диракови делта функции .
Δ
T
(
t
)
=
d
e
f
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}
на некој одреден временски интервал Т. Некои автори, конкретно Брејсвел , како и некои автори на учебници по електротехника и теорија на електрични кола, оваа функција ја нарекуваат функција Ш (веројатно затоа што графиконот наликува на обликот на буквата Ш). Бидејќи оваа функција е периодична, таа може да биде претставена со Фуриеов ред :
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
.
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}
Својството на скалирање следи директно од својството Дираковата делта функција
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
T
)
=
|
α
|
⋅
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
α
⋅
(
t
−
k
T
)
)
.
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}
Јасно е дека Δ T Т. Т.е.
Δ
T
(
t
+
T
)
=
Δ
T
(
t
)
∀
t
{\displaystyle \Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t}
Комплексниот Фуриеов ред за таква периодична функција е
Δ
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }
каде што Фуриеовите коефициенти, cn , изнесуваат
c
n
{\displaystyle c_{n}\,}
=
1
T
∫
t
0
t
0
+
T
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
(
−
∞
<
t
0
<
+
∞
)
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
Δ
T
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
δ
(
t
)
e
−
i
2
π
n
t
/
T
d
t
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\ }
=
1
T
e
−
i
2
π
n
0
/
T
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\ }
=
1
T
.
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}.\ }
Сите Фуриеови коефициенти се 1/ Т , поради што
Δ
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
2
π
n
t
/
T
{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}}
Кога се користи како идеален одбирник, може да се употреби за да се разбере ефектот на преклопување (алијасинг) и како доказ за Никвист-Шеноновата теорема за земање примероци .
Единична трансформација во фреквенциски домен ():
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
f
−
k
T
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
2
π
f
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}
Единична трансформација во аголен фреквенциски домен ():
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
⟺
F
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
k
2
π
T
)
=
1
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
i
ω
n
T
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}
Земање примероци и преклопување [ уреди | уреди извор ] Множењето на континуиран сигнал со поворка од импулси понекогаш се нарекува идеален одбирник со интервал на земање примероци Т.
