Лапласова равенка

Лапласова равенка — елиптична делумна диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас, кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:

$\qquad \nabla ^{2}\varphi =0$

Решенијата на Лапласовата равенка се хармониски функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

Дефиниција

Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи. Во Декартовиот координатен систем го има обликот:

$\Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$

Во цилиндричниот координатен систем е:

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0$

Во сферниот координатен систем е:

$\Delta f={1 \over \rho ^{2}}{\partial \over \partial \rho }\!\left(\rho ^{2}{\partial f \over \partial \rho }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\!\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)\!+\!{1 \over \rho ^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.$

Во закривениот координатен систем е:

$\Delta f={\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\partial f \over \partial \xi ^{k}}g^{ki}\right)\!+\!{\partial f \over \partial \xi ^{j}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$

или

$\Delta f={1 \over {\sqrt {|g|}}}{\partial \over \partial \xi ^{i}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial \xi ^{j}}\right)=0,\quad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\}).$

Дводимензионален систем

Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}}=0$

Во дводимензионалниот Декартов систем е:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Гринова функција

Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:

$\int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}.$

Дефиницијата на Гриновата функција е:

$\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x').$

Ако во Гриновата теорема се стави $\psi =G$ се добива:

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{V}\left[\phi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\right]\ d^{3}x'\\[6pt]&=\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.\end{aligned}}$

Сега може да се реши Лапласовата равенка $\nabla ^{2}\phi (x)=0$ во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:

$\int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}=\phi (x)$

равенката се сведува на:

$\phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\right]\cdot d{\hat {\sigma }}'.$

Кога нема рабни услови Гриновата функција е:

$G(x,x')={\dfrac {1}{|x-x'|}}.$

Литература

• Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
• Лапласова равенка

Надворешни врски

• „Laplace equation“, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001
• Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example initial-boundary value problems Архивирано на 3 јули 2017 г. using Laplace's equation from exampleproblems.com.
• „Laplace’s Equation“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method Архивирано на 7 февруари 2012 г.