Криволиниски интеграл

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Криволиниски интегралинтеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од обичниот определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката, криволиниски интеграли од втор ред се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.

Криволиниски интеграл од прв вид[уреди | уреди извор]

Криволиниски интеграл од прв вид

Ако со ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:

.

Ако едниот крај на кривата го означиме со , а нејзиниот друг крај со , криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:

.

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Нека кривата е зададена параметарски на интервалот  :

.

Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата .

Можеме да формираме поделба на интервалот на делови, со следните ознаки:

.

Во секој сегмент можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува една точка , каде е . Со ќе ја означиме должината на кривата на сегментот . Тогаш ја имаме следната ознака:

Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број , таков што за секого постои одредено така што:

,

тој број ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата на кривата . Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и лак на интеграција.

Особини[уреди | уреди извор]

Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.

  1. ,
  2. Ако е точно за секоја домен точка: , тогаш: ,
  3. ,
  4. , ако точката се наоѓа помеѓу точките и .

Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот ориентација, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:

.

Пресметување[уреди | уреди извор]

Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула:[1]

Условите за користење на оваа формула се функцијата да е непрекината и ограничена на кривата и дека кривата е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.[2]

Криволиниски интеграл од втор вид[уреди | уреди извор]

Криволиниски интеграл од втор вид

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Нека кривата е зададена параметарски на интервалот  :

.

Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите јас .

Можеме да формираме поделба на интервалот на делови, со следните ознаки:

.

Во секој сегмент можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува по една точка , каде е . Со ќе ја означиме разликата , и аналогно на тоа и . Тогаш ги имаме следните ознаки:

Во наредниот текст ќе зборуваме за , имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за и . Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број , таков што за секое постои одредено така што:

,

тој број ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата на кривата . Се запишува на следниов начин:

, или само:
.

Аналогно се дефинираат интегралите и . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:

,

кои обично се означуваат како:

. (1)

Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција , односно , тогаш ознаката (1) ја нарекуваме (општ) криволиниски интеграл од втор ред на функцијата .

Во случај кривата да е затворена т.е. , зборуваме за циркулација и дефинираниот интеграл го обележуваме со:

,

иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.[3]

Особини[уреди | уреди извор]

За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:

,

кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:

.

Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека . На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме ориентабилност, односно ориентација на кривата.

Пресметување[уреди | уреди извор]

Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред (аналогно на , согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна: [4]

Формулата важи доколку функцијата е непрекината на кривата , а кривата е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.[5]

Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.

Независност на интеграцијата од патеката[уреди | уреди извор]

Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција , т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата: [6]

Следниве искази се еквивалентни:

  • За векторска функција постои функција , таква што е
  • Криволинискиот интеграл не зависи од траекторијата, туку само од точките и. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде
  • Циркулација на произволна затворена патека е еднаква на нула.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 185.
  2. Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 186.
  3. Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Приступљено 9. 4. 2013.
  4. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 189.
  5. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 190.
  6. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 193.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]

Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска