Криволиниски интеграл

Криволиниски интеграл — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од обичниот определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката, криволиниски интеграли од втор ред се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.

Криволиниски интеграл од прв вид

Криволиниски интеграл од прв вид

Ако со $f(x,y,z)$ ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со $L$ ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:

$\int \limits _{L}f(x,y,z)\,ds$ .

Ако едниот крај на кривата $L$ го означиме со $A$, а нејзиниот друг крај со $B$, криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)\,ds$ .

Дефиниција

Нека кривата $L$ е зададена параметарски на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ :

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$ .

Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата $f(x,y,z)$.

Можеме да формираме поделба на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ делови, со следните ознаки:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$ .

Во секој сегмент $[t_{i},t_{i-1}]$ можеме да избереме по едно $\tau _{i}$, од кои секое параметарски одредува една точка $M_{i}(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})$, каде е $\xi _{i}=\varphi (\tau _{i}),\eta _{i}=\psi (\tau _{i}),\zeta _{i}=\chi (\tau _{i})$. Со $\Delta s_{i}$ ќе ја означиме должината на кривата на сегментот $[t_{i},t_{i-1}]$. Тогаш ја имаме следната ознака:

$\sigma _{1}(f,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})\Delta s_{i}$

Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога $\Delta s_{i}$ тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број $I$, таков што за секого $\varepsilon >0$ постои одредено $\delta >0$ така што:

$max(\Delta s_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{1}(f,L)-I|<\varepsilon$ ,

тој број $I$ ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата $f$ на кривата $L$. Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и лак на интеграција.

Особини

Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.

1. $\int \limits _{L}(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds=\alpha \int \limits _{L}f(x,y,z)ds+\beta \int \limits _{L}g(x,y,z)ds$ ,
2. Ако е точно за секоја домен точка: $f(x,y,z)<g(x,y,z)$, тогаш: $\int \limits _{L}f(x,y,z)ds<\int \limits _{L}g(x,y,z)ds$ ,
3. $|\int \limits _{L}f(x,y,z)ds|\leq \int \limits _{L}|f(x,y,z)|ds$ ,
4. $\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{AC}f(x,y,z)ds+\int \limits _{CB}f(x,y,z)ds$, ако точката $C$ се наоѓа помеѓу точките $A$ и $B$.

Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот ориентација, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$ .

Пресметување

Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t),\chi (t)){\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)+\chi '^{2}(t)}}\,dt$

Условите за користење на оваа формула се функцијата $f$ да е непрекината и ограничена на кривата $L$ и дека кривата $L$ е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.

Криволиниски интеграл од втор вид

Криволиниски интеграл од втор вид

Дефиниција

Нека кривата $L$ е зададена параметарски на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ :

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$ .

Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ јас $R(x,y,z)$.

Можеме да формираме поделба на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ делови, со следните ознаки:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$ .

Во секој сегмент $[t_{i},t_{i-1}]$ можеме да избереме по едно $\tau _{i}$, од кои секое параметарски одредува по една точка $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, каде е $x_{i}=\varphi (\tau _{i}),y_{i}=\psi (\tau _{i}),z_{i}=\chi (\tau _{i})$. Со $\Delta x_{i}$ ќе ја означиме разликата $x_{i}-x_{i-1}$, и аналогно на тоа $\Delta y_{i}$ и $\Delta z_{i}$. Тогаш ги имаме следните ознаки:

$\sigma _{2}(P,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}P(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta x_{i}$

$\sigma _{3}(Q,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}Q(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta y_{i}$

$\sigma _{4}(R,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}R(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta z_{i}$

Во наредниот текст ќе зборуваме за $\sigma _{2}(P,L)$, имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за $\sigma _{3}$ и $\sigma _{4}$. Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз $\sigma _{2}$ ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога $\Delta x_{i}$ тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот $[\alpha ,\beta ]$ е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број $I$, таков што за секое $\varepsilon >0$ постои одредено $\delta >0$ така што:

$max(\Delta x_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{2}(P,L)-I|<\varepsilon$ ,

тој број $I$ ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата $P$ на кривата $L$. Се запишува на следниов начин:

$\int \limits _{L}P(x,y,z)\,dx$, или само:

$\int \limits _{L}Pdx$ .

Аналогно се дефинираат интегралите$\int \limits _{L}Qdy$ и $\int \limits _{L}Rdz$ . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:

$\int \limits _{L}Pdx+\int \limits _{L}Qdy+\int \limits _{L}Rdz$ ,

кои обично се означуваат како:

$\int \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$ . (1)

Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција ${\overrightarrow {r}}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, односно ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$, тогаш ознаката (1) ја нарекуваме (општ) криволиниски интеграл од втор ред на функцијата ${\overrightarrow {r}}$.

Во случај кривата $L$ да е затворена т.е. $A=B$, зборуваме за циркулација и дефинираниот интеграл го обележуваме со:

$\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$ ,

иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.

Особини

За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$ ,

кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:

$\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=-\int \limits _{BA}Pdx+Qdy+Rdz$ .

Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека $x_{i}-x_{i-1}=-(x_{i-1}-x_{i})$. На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме ориентабилност, односно ориентација на кривата.

Пресметување

Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред $P$ (аналогно на $Q,R$, согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна:

$\int \limits _{AB}P(x,y,z)dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))\varphi '(t)$

Формулата важи доколку функцијата $P(x,y,z)$ е непрекината на кривата $AB$, а кривата $AB$ е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата $P$ е непрекината дел по дел.

Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.

Независност на интеграцијата од патеката

Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција $L$, т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:

Следниве искази се еквивалентни:

• За векторска функција ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$ постои функција $u$, таква што е $(u_{x}',u_{y}',u_{z}')=(P,Q,R)$
• Криволинискиот интеграл $\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz$ не зависи од траекторијата, туку само од точките $A$ и$B$. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде $u(B)-u(A)$
• Циркулација $\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$ на произволна затворена патека е еднаква на нула.

Поврзано

• Површински интеграл

Надворешни врски

Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска