Комплемент

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Во теоријата на множества и други гранки на математиката, дефинирани се два вида на комплементи: релативен комплемент и апсолутен комплемент.

Релативен комплемент[уреди | уреди извор]

Ако A и B се множества, тогаш релативниот комплемент на A во B, познат и како разлика на множества меѓу B и A, е множеството чии елементи припаѓаат на B, но не припаѓаат на A.

B minus A
Релативниот комплемент
на A во B

Релативниот комплемент на A во B обично се пишува B − A (исто така и B \ A).

Формално:

Примери:

Следните изрази ги покажуваат некои важни особини на релативните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.

PROPOSITION 1: Ако A, B, и C се множества, тогаш важат следните идентитети:

  • C − (AB)  =  (C − A) ∪(C − B)
  • C − (AB)  =  (C − A) ∩(C − B)
  • C − (B − A)  =  (AC) ∪(C − B)
  • (B − A) ∩C  =  (BC) − A  =  B ∩(C − A)
  • (B − A) ∪C  =  (BC) − (A − C)
  • A − A  =  Ø
  • Ø − A  =  Ø
  • A − Ø  =  A

Апсолутен комплемент[уреди | уреди извор]

A complement
Комплементот на A во U

Ако е дефинирано универзално множество U, тогаш релативниот комплемент на A во U се нарекува апсолутен комплемент (или едноставно комплемент) на A, и се означува со AC, што значи:

AC  = U − A

На пример, ако универзалното множество е множеството на природни броеви, тогаш комплементот на множеството непарни броеви е множеството парни броеви.

Следниот израз ги покажува некои важни особини на апсолутните комплементи во однос на операциите унија и пресек од теорија на множества.


Ако A и B се подможества на универзално множество U, тогаш важат следните идентитети:

Де Морганови закони:
  • (A ∪ B)C  = AC ∩ BC
  • (A ∩ B)C  = AC ∪ BC
Закони за комплемент:
  • A ∪ AC  =  U
  • A ∩ AC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
  • Ако AB, тогаш BCAC
Инволуција или закон за двоен комплемент:
  • ACC  =  A.
Релации помеѓу релативен и апсолутен комплемент:
  • A − B = A ∩ BC
  • (A − B)C = AC ∪ B


Првите два горенаведени закони за комплемент покажуваат дека ако A е непразно подмножество на U, тогаш {A, AC} е партиција на U.