Поанкареова група

Анри Поенкаре

Поенкареова група, именувана по Анри Поанкаре (1906), за првпат била дефинирана од Минковски (1908) како група на просторни изометрии на Минковски. Тоа е десетдимензионална неабелова група Ли од фундаментално значење во физиката.

Преглед

Просторната изометрија на Минковски има својство дека интервалот помеѓу настаните останува непроменет. На пример, ако сè беше одложено за два часа, вклучувајќи ги и двата настани и патеката што ја зедовте за да одиме од една до друга, тогаш временскиот интервал помеѓу настаните запишани со штоперица што ја носевте со вас би бил ист. Или ако сè се премести на пет километри западно, или пак се сврте на 60 степени на десно, исто така, нема да забележите промени во интервалот. Излегува дека соодветната должина на објектот исто така не е засегната со таква промена. Проверката на времето или просторот (рефлексија) е исто така изометрија на оваа група.

Во Минковскиевиот простор (односно игнорирање на ефектите на гравитацијата), постојат десет степени на слободата на изометрите, кои може да се сметаат како транслација преку време или простор (четири степени, по една по димензија); рефлексија низ рамнина (три степени, слобода во ориентацијата на оваа рамнина); или "поттик" во која било од трите просторни насоки (три степени). Составот на трансформациите е оператор на групата Поанкаре, при што соодветни ротации се произведуваат како состав на парен број на рефлексии.

Во класичната физика, Галилејската група е споредлива десет параметарска група која дејствува на апсолутно време и простор. Наместо да се зголемува, има мапирање на стрингови за поврзување на референтните рамки за движење.

Поанкареова симетрија

Поанкареовата симетрија е целосна симетрија на специјална релативност. Вклучува:

1. транслации (поместувања) во времето и просторот (P), формирајќи ја абелијановата Ли група на транслации за простор-време;
2. ротации во просторот, формирање на неабелијанова Ли група на три-димензионални ротации (J);
3. поттикнувања, трансформации кои поврзуваат две рамномерно движни тела (К).

Последните две симетрии, Ј и К, заедно ја прават Лоренцовата група; полудиректен производ на групата транслации и Лоренцовата група потоа ја произведува групата Поанкаре. За објектите кои се инвариантни под оваа група се вели дека поседуваат Поинкареова инвариантност или релативистичка инвариантност.

Поанкареова група

Поанкареовата група е група на просторни изометрии на Минковски. Тоа е десет-димензионална некомпактна група Ли. Абелијановата група транслации е нормална подгрупа, додека Лоренцовата група е исто така подгрупа, стабилизатор на потеклото. Самата Поанкареова група е минимална подгрупа на афинската група која ги вклучува сите транслации и Лоренцовите трансформации. Поточно, тоа е полудиректен производ на преводот и Лоренцовата група,

R^1,3 следи O(1,3),

со групно множење

(α,f) x (ß,g) = (α + f x ß, f x g)

Друг начин на поставување на ова е дека Поанкареовата група е групно продолжување на Лоренцовата група со векторска претстава за неа; тоа понекогаш се нарекува, неформално, како нехомогена Лоренцова група. За возврат, исто така, може да се добие како групна контракција на групата де Ситер SO (4,1) ~ Sp (2,2), како што полупречникот на де Ситер оди до бесконечност.

Неговите позитивни енергетски унитарни непривлечни претстави се индексираат по маса (ненапатен број) и спин (цел број или половина цел број) и се поврзани со честички во квантната механика.

Во согласност со програмата Ерланген, геометријата на просторот Минковски е дефинирана од Поанкареовата група: просторот Минковски се смета за хомоген простор за групата.

Во квантната теорија на полето, универзалната покривка на групата Поанкаре

R^1,3 следи SL(2,C)

и двојното покритие

R^1,3 следи Spir(1,3)

се поважни, бидејќи претставите на SO (1,3) не се во можност да ги опишат полињата со спин 1/2, односно фермиони. Овде SL (2, C) е група на комплексни (2x2) матрици со детерминанта на единица.

Поанкареова алгебра

Поанкареовата алгебра е алгебра Ли на групата Поанкаре. Тоа е Ли алгебра продолжување на алгебрата на Ли од Лоренцовата група. Поконкретно, соодветниот (detΛ = 1), ортохроничен (Λ⁰₀≥1) дел од Лоренцовата подгрупа (нејзината идентитетна компонента), SO⁺(1, 3), е поврзан со идентитетот и затоа е обезбеден со степенување exp (ia_μP^μ ) exp (iω_μνM^μν / 2) од оваа алгебра Ли. Во форма на компонента, алгебрата Поанкаре е дадена од комутативните релации, каде што P е генератор на преводи, M е генератор на Лоренцови трансформации, а η е (+, -, -, -) Минковски метрика.

Инваријантите на Казимир од оваа алгебра се P_μP^μ и W_μ W^μ каде W_μ е псевдовекторот Паули-Лубански; тие служат како етикети за претставите на групата.

Групата Пуанкаре е целосна група на симетрија на која било релативистичка теорија на поле. Како резултат на тоа, сите елементарни честички паѓаат во претстави на оваа група. Овие се обично специфицирани со четирите импулси на квадратот на секоја честичка (т.е. неговата квадратна маса) и вродените квантни броеви J^PC, каде што J е спин квантниот број, P е паритет, а C е квантниот број на коњугативното полнење. Во пракса, коњугацијата на обвиненијата и паритетот се прекршени од многу квантни теории на полето; каде што тоа се случува, P и C се заменуваат. Бидејќи CPT симетријата е инвариантна во квантната теорија на поле, квантниот број од времето на пресврт може да биде конструиран од дадените.

Како тополошки простор, групата има четири поврзани компоненти: компонента на идентитетот; компонента со обратен временски период; компонентата на просторна инверзија; и компонентата која е обратна и временски превртена.

Суперпоанкареова алгебра

Поврзано набљудување е дека репрезентациите на Лоренцовата група вклучуваат пар нееквивалентни дводимензионални комплексни спинорски претстави. Може да се идентификува овој последен бит со четири-димензионален простор на Минковски (наспроти идентификување со спин-1 честичка, како што нормално би се направило за еден пар фермиони, на пример, пион кој се состои од кварк-анти-кварк пар). Ова силно сугерира дека би било можно да се прошири алгебрата на Поанкаре исто така да вклучува и спинори. Ова води директно до поимот Супер-Поанкаре алгебра. Математичката привлечност на оваа идеја е дека човек работи со основните претстави, наместо со придружните претстави. Физичката привлечност на оваа идеја е дека фундаменталните претстави соодветствуваат на фермионите, кои се гледаат во природата. Досега, сепак, имплицираната суперсиметрија тука, на симетрија помеѓу просторни и фермионски насоки, не може да се види експериментално во природата. Експерименталното прашање грубо може да се каже како прашање: ако живееме во придружната застапеност, тогаш каде се крие основната застапеност?