Ојлерова формула

Во математиката, едно од основните и најважни равенства во теоријата на комплексите броеви и комплексната анализа. Со неа е изразена зависноста помеѓу експоненцијалната и тригонометриските функции.

Равенството е едноставно и го има следниот облик:

$\ {\mbox{e}}^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}$

каде $\ {\mbox{e}}$ е основата на природниот логаритам, а $i$ имагинарната единица. Равенството е наречено според Леонард Ојлер, швајцарски математичар.

Доказ

Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:

$\ {\mbox{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

$\sin {x}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

$\cos {x}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

Сега имаме:

$\ {\mbox{e}}^{ix}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}$

Бидејќи:

$i^{k}={\begin{cases}1,&k=4n\\i,&k=4n+1\\-1,&k=4n+2\\-i,&k=4n+3\end{cases}}$

Следствено:

$\ {\mbox{e}}^{ix}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}=1+i{\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...=$

$\ =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...\right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+...\right)=$

$\ =\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+i\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\cos {x}+i\sin {x}$

со што ја покажавме точноста на равенството.

Важност

Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:

$\ {\mbox{e}}^{x+iy}={\mbox{e}}^{x}\cdot {\mbox{e}}^{iy}={\mbox{e}}^{x}(\cos {y}+i\sin {y})$

Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме $\ x=\pi$. Тогаш се добива следново:

$\ {\mbox{e}}^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1+i\cdot 0=-1$, односно, конечно:

${\mbox{e}}^{i\pi }+1=0$

Последново равенство се нарекува равенство на Ојлер и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува девет основни концепти на математиката: три операции: собирање, множење, степенување; пет основни константи: единицата, нулата, односот на периметарот и пречникот на кружницата - $\pi$, основата на природниот логаритам - ${\mbox{e}}$, имагинарната единица - $i={\sqrt {-1}}$ и една основна релација: еднаквост $\ =$.

Интересно

• Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?
• Ова равенство било докажано за првпат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котс (Roger Cotes) во алтернативен облик:

$\ {\mbox{ln}}(\cos {x}+i\sin {x})=ix$

Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.