Функцијата
, каде
, а функцијата е непрекината во множеството
, се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое
, може да се најде позитивно
, така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од
, важи
.
Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата
во множеството
може да се запише како:
.
Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен
, потребно е да се најде најмалото
од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:

Ако множеството
е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога
не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало
. Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.
Критериум за одредување рамномерна непрекинатост[уреди | уреди извор]
Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.
Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.
Ако функцијата
е непрекината во интервалот
, таа е и рамномерно непрекината во него.
Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата
е непрекината во интервалот
(дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка
од тој сегмент постои некоја околина
и за сите точки
важи:
.
Да избереме 2 точки,
. Тогаш имаме:

Сега да избереме околина со двојно помал полупречник,
. Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот
, ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент
, па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот
. Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките
така што нивните околини
образуваат потпокривач на сегментот
. Бидејќи точки
има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата
и ја означуваме со
.
Да избереме сега некоја точка
од интервалот
кој му припаѓа на некој од интервалите
, кое го запишуваме:
.
Да избереме и точка
од интервалот
која се наоѓа во
-околинат на точката
, т.е.
. Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е
, тогаш сигурно е и
.
Сега од
и
имаме дека:

т.е. двете точки, и
и
, припаѓаат на околината
-на точката
, односно, двете се наоѓаат во некоја околина
,
па тогаш имаме дека
, што и требаше да се докаже.
- Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.