Рамномерна непрекинатост

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Функцијата , каде , а функцијата е непрекината во множеството , се нарекува рамномерно (униформно) непрекината во тоа множество, ако за секое , може да се најде позитивно , така што за секои две точки од нејзиниот домен кои се наоѓаат на растојание помало од , важи .

Односно, условот за рамномерна непрекинатост на функцијата во множеството може да се запише како:

.

Дискусија на дефиницијата[уреди | уреди извор]

Оправданоста на оваа дефиниција, покрај дефиницијата на самата непрекинатост на функција потекнува од тоа – за да функција биде непрекината во секоја точка од својот домен , потребно е да се најде најмалото од сите околини на секоја точка на доменот, за кои тогаш би важело:

Ако множеството е конечно, тоа може да се направи. Меѓутоа, кога не е конечно, не постои гаранција дека воопшто ќе постои такво најмало . Со тоа е оправдано постоењето на наведената дефиниција за рамномерна непрекинатост.

Критериум за одредување рамномерна непрекинатост[уреди | уреди извор]

Општиот критериум за одредување на рамномерна непрекинатост на функции го дава Канторовиот став за рамномерна непрекинатост.

Теоремата може да се докаже со користење на Борел-Лебеговата лема за покривачите и потпокривачите.

Теорема[уреди | уреди извор]

Ако функцијата е непрекината во интервалот , таа е и рамномерно непрекината во него.

Доказ[уреди | уреди извор]

Од дефиницијата за непрекинатост имаме дека функцијата е непрекината во интервалот (дадено како услов за теоремата), тогаш за произволна точка од тој сегмент постои некоја околина и за сите точки важи: .

Да избереме 2 точки, . Тогаш имаме:

Сега да избереме околина со двојно помал полупречник, . Ако таквата околина ја конструираме за секоја точка на сегментот , ќе добиеме множество отворени интервали кои очигледно го прекирваат целиот сегмент , па множеството на тие интервали твори покривач на сегментот . Од Борел-Лебеговата лема имаме дека постои конечен потпокривач на тој интервал, т.е. дек постојат точките така што нивните околини образуваат потпокривач на сегментот . Бидејќи точки има конечно многу, меѓу нивните околини може да се најде најмалата и ја означуваме со .

Да избереме сега некоја точка од интервалот кој му припаѓа на некој од интервалите , кое го запишуваме: .

Да избереме и точка од интервалот која се наоѓа во -околинат на точката , т.е. . Тоа може да го направиме по дефиниција, затоа што функцијата е непрекината во целиот сегмент, а пошто е , тогаш сигурно е и .

Сега од и имаме дека:

т.е. двете точки, и и , припаѓаат на околината -на точката , односно, двете се наоѓаат во некоја околина , па тогаш имаме дека , што и требаше да се докаже.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Литература[уреди | уреди извор]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.