Накрсно множење

Накрсно множење — математичка операција, особено применливо во основната аритметика и елементарната алгебра, за равенки меѓу две дропки или рационални изрази, чие користење е со цел да се поедностави равенката или да се одреди вредноста на променливата.

Примери[уреди | уреди извор]

Дадена е равенката:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

(каде $b$ и $d$ не се нула), накрсното множење дава:

ad=bc\qquad \mathrm {or} \qquad a={\frac {bc}{d}}.

Во Евклидовата геометрија истиот резултат може да се постигне со користење на односи слично како кај триаголникот.

Постапка[уреди | уреди извор]

Во пракса, методот на накрсно множење значи да го помножиме броителот на секоја (или една) страна со именителот на другата страна со вкрстување:

{\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}}\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.

Математичко оправдување за методот е од следната математичка постапка. Ако почнеме со основната равенка:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

Можеме да ја помножиме секоја страна со ист број и равенството нема да се промени. Значи, ако дропките на секоја страна ги помножиме со $bd$ , добиваме:

{\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.

можеме дропката да ја скратиме, бидејќи двете $b$ на левата страна можат да се скратат, како и двете поновувања $d$ , па останува:

ad=bc

и можеме двете страни на равенката да ги поделиме со кој било елемент – во овој случај се зема $d$ , па се добива:

a={\frac {bc}{d}}.

Друго оправдување на накрсното множење е следното. Да ја земеме равенката:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

ако ја помножиме со $d d$ = 1 на левата и со $b b$ = 1 на десната страна, добиваме:

{\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}}

и така:

{\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.

со кратење на заедничките именители $bd$ = $db$ , ни останува:

ad=cb.

Секој чекор во овие постапки е заснован на единствено, основно својство на равенките. Накрсното множење е скратен пат, лесно разбирлива процедура која ја учат учениците.

Употреба[уреди | уреди извор]

Накрсното множење е вообичаена процедура во математиката која се користи за да ги скрати дропките или да ја пресмета вредноста на променливата во дропката. Ако имаме равенка, каде $x$ е променлива:

{\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}}

можеме да користиме накрсно множење за нејзино одредување:

x={\frac {bc}{d}}.

На пример, сакаме да знаеме колку ќе помине автомобил за 7 часа ако знаеме дека неговата брзина е константна и дека веќе изминал 90 километри во последните 3 часа. Со претворање на проблемот во пропорција добиваме:

{\frac {x}{7\ \mathrm {h} }}={\frac {90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}.

Со накрсно множење се добива:

x={\frac {7\ \mathrm {h} \times 90\ \mathrm {km} }{3\ \mathrm {h} }}

и така:

x=210\ \mathrm {km} .

И поедноставни равенки како што се:

a={\frac {x}{d}}

Се решаваат со користење на накрсно множење, недостасува членот $b$ кој имплицитно е еднаков на 1: се решавају коришћењем унакрсног множења, недостаје $b$ члан који је имплицитно једнак 1:

{\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.

Која било равенка која содржи дропки или рационални изрази може да се поедностави со множење на двете страни со најмалиот заеднички содржател. Овој чекор се нарекува „дерационализација“.

Тројно правило[уреди | уреди извор]

Тројното правило е скратена верзија за одреден облик на накрсно множење кое учениците го учат напамет. Во францускиот наставен план тоа е застапено во програмата за средно образование.^[1]

За равенките во облик:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}

Каде променливата која се пресметува е десниот именител, тројното правило е:

x={\frac {bc}{a}}.

Во тој контекст, $a$ се нарекува „крајна“ пропорција, а $b$ и $c$ се нарекуваат „средства“.

Ова правило им било познато на Евреите уште од XV век п.н.е. како посебен случај на Кал ва-хомер. Исто така им било познато на индиските (ведски) математичари во VI век п.н.е. како и на кинеските математичари пред VII век п.н.е.,^[2] додека во Европа почнува да се користи многу подоцна.

Наводи[уреди | уреди извор]

↑ „Socle de connaissances, pilier 3“. French ministry of education. 30 декември 2012.
↑ Kangshen, Shen; Crossley, John N; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.

Литература[уреди | уреди извор]

Cocker, Edward (1702). Cocker's Arithmetick. London: John Hawkins. стр. 103.
Kangshen, Shen; Crossley, John N; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]

Накрсно множење на Ризницата ^?

[1] „Socle de connaissances, pilier 3“. French ministry of education. 30 декември 2012.

[2] Kangshen, Shen; Crossley, John N; Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press.

[1]

[2]