Делител

Делител на еден цел број $n$, наречен и фактор на $n$, е цел број кој го дели $n$ без да има остаток.

Објаснување

Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако $a/b = c$ тогаш $a$ е деленик, $b$ е делител, а $c$ е количник.

Општо земено, за сите ненуларни цели броеви $m$ и $n$, $m$ го дели $n$, што се пишува:

$m \mid n,$

ако постои цел број $k$ така што $n = km$. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, n и −n се нарекуваат тривијални делители на n. Делителот на n кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.

Примери

• 7 е делител на 42 бидејќи $42/7 = 6$, па така велиме дека $7 \mid 42$. Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
• Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
• Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Множеството од сите позитивни делители на 60, $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}$, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:

Други поимувања и факти

Постојат извесни елементарни правила:

• Ако $a \mid b$ и $b \mid c$, тогаш $a \mid c$. Ова е транзитивна релација.
• Ако $a \mid b$ и $b \mid a$, тогаш $a = b$ или $a = -b$.
• Ако $a \mid b$ и $c \mid b$, тогаш НЕ е секогаш точно дека $(a + c) \mid b$ (на пр. $2\mid6$ и $3 \mid 6$ но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога $a \mid b$ и $a \mid c$, тогаш $a \mid (b + c)$ е точно, како и $a \mid (b - c)$.

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодна точка U+2223 во TeX се пишува како \mid: $\mid$. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX \nmid: $\nmid$. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако $a \mid bc$, а НЗД$(a, b) = 1$, тогаш $a \mid c$. Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако $p$ е прост број и $p \mid ab$ тогаш $p \mid a$ или $p \mid b$ (или обете).

Еден позитивен делител на $n$ што е различен од $n$ се нарекува вистински делител или аликвотен дел на $n$. Бројот кој не може рамномерно да го подели $n$, туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на $n$.

Еден цел број $n > 1$ чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на $n$ е производ од прости делители на $n$ дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на $n$ е мултипликативна функција $d(n)$, што значи кога два броја $m$ и $n$ се односно прости, тогаш $d(mn)=d(m)\times d(n)$. На пример, $d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)$; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја $m$ и $n$ имаат заеднички делител, тогаш $d(mn)=d(m)\times d(n)$ може да не е точно. Збирот на позитивните делити на $n$ е друга мултипликативна функција $\sigma (n)$ (на пр. $\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42$). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на $n$ е дадена со

$n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k}$

тогаш бројот на позитивни делители на $n$ изнесува

$d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1),$

и секој од делителите го има обликот

$p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k}$

каде $0 \le \mu_i \le \nu_i$ за секој $1 \le i \le k.$

Може да се види дека за секој природен број $n$ важи неравенството $d(n) < 2 \sqrt{n}$.

Можеме и да покажеме дека

$d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}).$

Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број n има очекуван околу $\ln n$ очекувани делители.

Деливост на броевите

Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви $N$ во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група $Z$.

Поврзано

• Аритметичка функција
• Евклидов алгоритам
• Дропка

Литература

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (III изд), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; дел B.
• Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, NY, 1944.

Надворешни врски

• Делител - Математика за сите (македонски)