Множење

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок = збир
Одземање (−)
намаленикнамалител = разлика
Делење (:)
деленик : делител = количник
Множење (⋅)
множителмноженик = производ
Степенување
основастепен = степен
Коренување (√)
показпоткор. гол. = корен
Логаритам
logосн(степен) = показател
Четири ќесиња со по три џамлии сочинуваат дванаесет џамлии. Постојат и 3 множества со по 4 џамлии со иста боја.
Множењето може да се сфати и како сразмерно зголемување. На анимацијата 2 се множи со 3, што дава 6
Површина на чаршав 4,5 м · 2,5 м = 11,25 м2; 4½ · 2½ = 11¼

Множењематематичка операција повеќекратно зголемување на еден број и претставува една од четирите основни операции во аритметиката.

Може да се претстави и како скратено собирање на еднакви собироци:[1]

3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.\!\,

Во случајот 3 и 4 се множител и множеник (фактори), а 12 е „производ“.

или пак

3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12.\!\,

каде собироците се три четворки, наместо четири тројки, што не прави никаква разлика во резултатот.

Множењето на рационални броеви (дропки) и реални броеви се одликува со систематско воопштување на оваа основна идеја.

Оваа операција може да се претстави и како броење на предмети распоредени во правоаголник (за цели броеви) или со наоѓањето на плоштина на правоаголник со страни со извесни должини (општо за сите броеви). Плоштината на правоаголникот не зависи од тоа од која страна ќе почнеме, па така множењето не зависи од редоследот, т.е. кој број ќе биде множител, а кој множеник.

Еве еден пример:

2,5 \mbox{ m} \cdot 4,5 \mbox{ m} = 11,25 \mbox{ m²},\!\,
11 \mbox{ m/s} \cdot 9 \mbox{ s} = 99 \mbox{ m}.\!\,

Обратна операција на множењето е делењето. На пример, 4 по 3 дава 12. А 12 поделено со 3 дава 4. Ако нешто помножиме со 3, а потоа го поделиме со 3, го добиваме првичниот број.

Множењето важи и за други видови броеви (како комплексни броеви) и поапстрактни поимувања како матрици. Кај ваквите поапстрактни случаи редоследот на множење понекогаш мора да се запази (т.е. не важи комутативноста)

Означување[уреди]

Операцијата множење се означува со средна точка „·“ помеѓу бројките, а а пред резултатот се става знакот за еднаквост. На пример,

2 \cdot 3 = 6 (со зборови: „два по три е еднакво на шест“)
3 \cdot 4 = 12
2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30
2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32
  • Во некои земји множењето се означува со крстче „×“:
5 \times 2


Бројот што се множи се нарекува „множеник“, т.е. тоа е бројот што го повторуваме онолку пати колку што изнесува множителот. Во алгебрата, бројот што е множител на некој променлива или израз (како на пр. 3 во 3xy2) се нарекува „коефициент“.

Резултатот од множењето се нарекува „производ“, кој е содржател на секој од неговите множители, доколку се цели броеви. На пример, 15 е производ од 3 и 5, и содржател на броевите 3 и 5.

Методи на пресметка[уреди]

Историска позадина[уреди]

Најстар метод е рачното множење со научена таблица множење, но истото е макотрпно и подложно на грешки кога се работи со големи и децимални броеви. Со цел да се упрости постапката се измислени декадните логаритми и разни помагала. Логаритмарот е посебен лизгачки линијар кој бргу го наоѓа производот на бараните броеви со точност од три места. Кон почетокот на XX век се измислени механички сметалки кои работеле со поголеми броеви до 10 цифри. Денешните сметачи и дигитрони претставуваат огромен напредок во моќноста на обработка на математички операции.

Бесконечни производи[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Бесконечен производ.

Можеме да имаме и производ со бесконечно многу членови. Ваквите производи се нарекуваат бесконечни производи. Записно, горенаведеното n го заменуваме со знакот за бесконечност ∞. Производот од оваа низа се определува со лимесот (границата) на производот на првите n члена, како што n расте до бескрај. По дефиниција,

 \prod_{i=m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.

Така можеме да го замениме и m со негативна бесконечност, па да определиме:

\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n x_i\right),

под услов да постојат обата лимеса.

Својства[уреди]

Работејќи со природни броеви, цели броеви, дропки, реални и комплексни броеви, за множењето важат следниве својства:

Комутативно својство
Редоследот по кој се множат броевите не е важен:
x\cdot y = y\cdot x.
Асоцијативно својство
Изразите што содржат само множење се неменливи во однос на редоследот на операциите:
(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)
Дистрибутивно својство
Важи за множењето во однос на собирањето. Ова е едентитет од првостепена важност при упростувањето на алгебарските изрази:
x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z
Неутрален елемент
Умножителниот идентитет е 1; сè што ќе се помножи со еден е еднакво само на себе. Ова се нарекува идентитетно својство:
x\cdot 1 = x
Нулти елемент
Секој број помножен со нула дава нула. Ова се нарекува нулто својство на множењето:
x\cdot  0 = 0
Нулата понекогаш не се смета за природен број.

Постојат уште некои својства кои не се задоволени кај сите видови броеви.

Негација
Минус еден помножен со секој број го дава спротивниот на тој број.
(-1)\cdot x = (-x)
Негативно еден помножено со негативно еден дава позитивно еден.
(-1)\cdot (-1) = 1
Негативните броеви не спаѓаат во природните броеви.
Обратен елемент
Секој број x (освен нула) има реципрочна вредност (превртување), \frac{1}{x}, така што x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1.
Природните и целите броеви немаат реципрочни вредности.
Зачувување на редослед
Множењето со позитивен број го зачувува редоследот: ако a > 0, тогаш ако b > c тогаш ab > ac. Множењето со негативен број го превртува редоследот: ако a < 0, а b > c тогаш ab < ac.
Комплексните броеви немаат поредочен предикат.

Не сите математички системи ги имаат овие својства. На пример, комутативноста по правило не важи при множење на матрици и кватерниони, туку само во исклучиетлни случаи.

Множење на разни видови броеви[уреди]

Цели броеви
N \cdot M е збир од M примероци (собироци) на N, па тогаш N и M се позитивни цели броеви. Со ова го добиваме бројот на собироци во низа со ширина N и висина M. Можеме да воопштиме за негативни броеви со N \cdot (-M) = (-N) \cdot M = - (N \cdot M) и (-N) \cdot (-M) = N \cdot M. истите правила за предзнак важат и за рационални и реални броеви.
Рационални броеви
Воопштување во дропки \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} се добива со множење на броителите и именителите: \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{(A \cdot C)}{(B \cdot D)}. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од \frac{A}{B} и ширина од \frac{C}{D}, и е истоветен со бројот на собироци во низа кога рационалните броеви се воедно и цели.
Реални броеви
(x)(y) е границата на производите на соодветните членови во извесни низи на рационални броеви што се стремат кон x и y, и како таква е значајна во математичката анализа. Ова дава плоштина на правоаголник со висина од x и ширина y.
Комплексни броеви
Ако земеме комплексните броеви z_1 и z_2 да се подредени парови од реални броеви (a_1, b_1) и (a_2, b_2), производо z_1 \cdot z_2 е (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2, a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1). Ова е исто како за реални броеви, a_1 \cdot a_2, кога имагинарните делови b_1 и b_2 се нула.

Степенување[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Степенување.

Операцијата на повторување на множењето се нарекува степенување. На пример, производот од три пати два (2·2·2) ќе биде „два дигнат на трет степен“ и се означува со надзнак: 23. Во овој случај бројот два е основа, а бројот три е степен, што означува колку пати основата треба да се помножи сама со себе. Така, изразот

a^n = \underbrace{a \cdot a . . . \cdot a}_n

покажува дека основата a треба да се помножи сама со себе n пати.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. Андреевски, Венцислав П. (2007). „3.2.3. Множење“. „Прирачник за математички поими и формули“. Скопје: Винсент графика. стр. 56. ISBN 978-9989-2474-4-6. 
  • Boyer, Carl B. (прер. Merzbach, Uta C.) (1991). „History of Mathematics“. John Wiley and Sons, Inc.. ISBN 0-471-54397-7. 

Надворешни врски[уреди]