Бијективна функција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Gen bijection.svg
Бијекција. Има точно една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f : AB која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елеменг b во кодомемот B постои точно еден едлемент a од доменот A таков што f(a)=b. Бијекција исто така се нарекува 1-1 кореспонценција.[1][2]

Терминот бијективност и сродните термини сирјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] и група други воглавно француски математичари од 20-тиот век која напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година.

Gen not surjection not injection.svg
Не е бијекција. (Не е ниту сурјекција, ниту инјекција.)

Основни своиства[уреди]

Формално имаме:

f:A \rightarrow B  е бијективна функција ако за секој  b \in B   постои точно еден  a \in A  таков што  f(a)=b \,.

Елементот a се вика предслика на елементот b.

Забелешка: Сурјекција значи минимум една предслика. Инјекција значи максимум една предслика. Бијекција значи точно една предслика.

Кардиналност[уреди]

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност. [4]

  • Две множества ја имаат истата кардиналноста ако постој бијекција помеѓу нив. (Види кардиналност.)
    • Ако кардиналноста на A и B е конечен број, #A=#B=n тогаш при доказ дека функцијата f:AB e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
    • Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.

Пример: Нека А=B=ℕ. Индентичната Функција f(x)=x e бијекција. Функцијата f(x)=2x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f(x)=round(x/2) е сурјекција која не е инјекција каде што round(z) го заокружува z така да f(1)=round(1/2)=round(0,5)=1, f(2)=round(2/2)=1, f(3)=round(3/2)=round(1,5)=2, ....

Бијекции и инверзни функции[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „инверзна функција.
  • Бијекција може да се преврти со обратно усмерување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција (на првобитната функција). Види инверзна функција.

Формално: Нека f : AB е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е (бијективна) функција g : BA дефинирана со: if f(a)=b, тогаш g(b)=a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

  • Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција.[5])
  • Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.[6][7][8]

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

f^{-1}(x)  се означува инверзната функција на функцијата f, а со
x^{-1}=\frac{1}{x} се означува реципрочната вредност на бројот x.

Примери[уреди]

Елементарни функции[уреди]

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

  • Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графикот на f во точно една точка.
  • Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за било кој yo постои xo таков што yo=f(xo) и ако f(xo)=f(x1) значи xo=x1.

Пример: Линеарната функција на било која коса права е бијективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е бијекција. (Види линеарна функција.) Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција.
Инверзна функција: y=(x-b)/a

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверна функција е 3-ти корен, односно f(x)= ∛x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција  f(x) = x2 не е бијекција (од ℝ→ℝ). Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на не-негативени броеви [0,+∞) се добива бијекција (види примери подолу).

Бијекции и своите инверзни функции[уреди]

Нека f(x):AB каде што A и B се подмножества на ℝ.

  • Да претпоставиме дека f не е бијекција. За било кое x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ>0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата (на сликата на околината).[4]
  • Графиците на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y=x. (Види и Инверзна функција.)

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)  каде што  f(x) = x^2

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен [0,+∞)

f(x):[0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, [0,+\infty)  каде што  f(x) = \sqrt{x}

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x2. Слика 6: дебелата зелена крива.

Забелешка: Последниот пример го покажува следното. За одредување дали некоја функција е бијекција или не, потребно е да се знае:

  • доменот на функцијата
  • машината на функцијата
  • кодоменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f(x)=x².

  • Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
  • оваа истамашина со домен=[0,+∞) и кодомен=[0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.

Пример: Експоненцијалната функција дефинирана на доменот ℝ и на ограничуваниот кодомен (0,+∞)

f(x):\mathbf{R} \,\, \rightarrow \,\, (0,+\infty)  каде што  f(x) = a^x \, ,\,\, a>1

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива (земено е a=10).

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен (0,+∞) и на кодоменот ℝ

f(x):(0,+\infty) \,\, \rightarrow \,\, \mathbf{R}  каде што  f(x) = \log_a x \, ,\,\, a>1

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: ax. Слика 4: дебелата зелена крива (земено е a=10).

Бијекција: секоја вертикална права (во доменот) и секоја хоризонтална права (во кодоменот) го пресекува графикот во точно една точка.
Line explicit ex.svg
1. Бијекција. Сите коси прави се бијекции f(x):ℝ→ℝ, f(x)=ax+b, a≠0.
Xto3.svg
2. Бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.
Xto2.svg
3. Не е бијекција. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x². (Не е сурекција, ниту инјекција).
Logx inv.svg
4. Бијекции. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (дебела зелена).
Xto1over3.svg
5. Бијекции. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=∛x (дебела зелена).
Xsqrt pos.svg
6. Бијекции. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (тенка жолта) и своја инверзна функција f(x)=√x (дебела зелена).

Наводи[уреди]

  1. Weisstein, Eric. „Bijective function“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Бијекција.html. конс. јануари 2014. 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 88. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. јануари 2014. 
  3. Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (на англиски). Tripod. http://jeff560.tripod.com/i.html. конс. февруари 2014. 
  4. 4,0 4,1 Tanton, James (2005). „Encyclopedia of Mathematics, Cardinality“. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0.  (англиски)
  5. „Inverse of Bijection is Bijection“ (на English). http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_of_Bijection_is_Bijection. конс. февруари 2014. 
  6. „Injection iff Left Inverse“ (на English). http://www.proofwiki.org/wiki/Injection_iff_Left_Inverse. конс. февруари 2014. 
  7. „Surjection iff Right Inverse“ (на English). http://www.proofwiki.org/wiki/Surjection_iff_Right_Inverse. конс. февруари 2014. 
  8. „Bijection iff Left and Right Inverse“ (на English). http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_iff_Left_and_Right_Inverse. конс. февруари 2014. 

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]