Сурјективна функција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Gen surjection not injection.svg
Сурјекција. До секој елемент во кодоменот B има стрелка од (барем еден) елемент од доменот А.

Во математиката, сурјективна функција е функција f : AB ако секој елемент во B е слика на барем еден елемент од A, односно за секој елемент b од кодоменот B постој барем еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b, т.е. кодоменот и сликата на f е истото множество.[1][2]

Терминот сурјективност и сродните термини инјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] (и група главно други француски математичари од 20-тиот век) кој напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година. Францускиот префикс сур значи над или одозгоре и се однесува на фактот дека сликата на доменот на сурјективна функција целосно го покрива кодоменот на функцијата.

Gen not surjection not injection.svg
Не е сурјекција. Постој елемент во кодоменот В без стрелка од елемент во доменот А.

Основни своиства[уреди]

Формално имаме:

f:A \rightarrow B  е сурјективна функција ако  \forall b \in B \,\, \exists a \in A  таков што  f(a)=b \,.

Елементот b се вика слика на елементот a.

  • Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот B е слика на барем еден елемент од доменот A.

Елементот a се вика предслика на елементот b.

  • Формалната дефиниција значи: Секој елемент од кодоменот B има барем една предслика во доменот A.

Предслика на сурјекција не мора да биде едниствена. Во првата слика, и {X} и {Y} се предслики на елементот {1}. Baжно е да има барем една предслика. (Види и: Инјективна функција, Бијективна функција)

Примери[уреди]

Елементарни функции[уреди]

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

  • Графичко толкување: функцијата f е сурјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графикот на f во (барем) една точка.
  • Алгебарско толкување: функцијата f е сурјективна ако за било кој реален број yo може да се најде (барем еден) реален број xo таков што yo=f(xo).

Наоѓање на xo за даден yo е еквивалентно со прашањата:

  • дали равенката f(x)-yo=0 има решение (или не), односно
  • дали функцијата f(x)-yo има корен (или не).

Во математиката, освен за полиноми од прв, втор (и трет степен) не постојат аналитички методи за одредување на корен, туку се одредуваат нумерички.

Од сето ова следува дека формално докажување на сурјективност не е едноставно и тоа треба да се земе во обѕир во дискусиите подолу.

Пример: Линеарната функција на било која коса права е сурјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е сурјекција (и инјекција, така да е бијекција). (Види линеарна функција.)

Доказ: Заменувајќи било кој реален број yo во функцијата и решајќи за x, се добива x= (yo-b)/a така да xo=(yo-b)/a. Со ова се докаже сурјективноста на функцијата y=ax+b каде што a≠0. (Бидејќи има точно едно решение за секој yo, оваа функција е и инјективна.)
Практичен пример: y= –2x+4. Кој е предслика на y=2? Тука a=–2, т.е. a≠0 и прашањето е: за кој x e y=2? Заменувајќи y=2 во функцијата се добива x=1, т.е. y(1)=2.

Пример: Функцијата f(x)=x3–3x е сурјективна.

Дискусија: Кубна полинома равенка x3-3x-yo=0 има реални коефициенти (a3=1, a2=0, a1=–3, a0=–yo), а секоја кубна полиномна равенка има барем еден реален корен.[4] Бидејќи доменот на функцијата е ℝ, следува дека постои (барем еден) xo таков што (x0)3-3x0-yo=0 и функцијата е сурјективна. (Меѓутоа, оваа функција не е инјективна. На пример, yo=2 има две предслики: x=–1 и x=2 , а всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата има повеќе од еднa предслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.)

Пример: Квадратната функција f(x) = x2 не е сурјективна. Нема x таков што x2 = −1. Сликата на x² e [0,+∞) , т.е. множеството на ненегативни броеви. (Оваа функција не е ниту инјективна.)

Забелешка: Се разбира дека за секоја несурјективна функција можеме да дефинираме нова сурјективна функција ограничувајќи го кодоменот на сликата. На пример „новата функција“ fN(x):ℝ→[0,+∞) каде штоfN(x) = x2 сега е сурјективна функција. (Ова не е исто со рестрикција на функција во која се ограничува доменот!)

Пример: Експоненцијалната функција f(x) = 10x не е сурјективна. Сликата на 10x е (0,+∞), a (0,+∞)≠ℝ. (Oваа функција е инјективна.)

Line explicit ex.svg
Сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (и инјекција)
Xto3minus3x.svg
Сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е инјекција)
Xto2.svg
Не е сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е инјекција)
10tox.svg
Не е сурјекција. f(x):ℝ→ℝ (е инјекција)
Logx.svg
Сурјекција. f(x):(0,+∞)→ℝ (и инјекција)
Zisy.png
Сурјекција. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Во сликата се показжува дека предсликата на z=2 е правата y=2.)

Други примери со реални функции[уреди]

Пример: Инверзната функција на 10x, односно логаритамската функција со основа 10 f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(x) односно y=log(x) е сурјективна (и инјективна).

  • Проекцијата на декартов производ A × B на еден од неговите фактори е сурјективна функција.

Пример: Функцијата f((x,y)):ℝ²→ℝ дефинирана со z=y е сурјективна. Графикот е рамнина во 3-димензионален простор, а предслика на zo е правата y=zo во x0y рамнината.

  • Во 3-димензионални игри, вектори се проектираат на 2-димензионален екран со сурјективна функција.

Наводи[уреди]

  1. Weisstein, Eric. „Surjective function“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Surjection.html. конс. јануари 2014. 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Onto Mapping“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 568. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. јануари 2014. 
  3. Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (на англиски). Tripod. http://jeff560.tripod.com/i.html. конс. февруари 2014. 
  4. Tanton, James (2005). „Cubic equation“. „Encyclopedia of Mathematics“. Facts on File, New York. стр. 112-113. ISBN 0-8160-5124-0.  (англиски)

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]