Инјективна функција

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Gen injection not surjection.svg
Инјекција. Максимум една стрелка до секој елемент во кодоменот B (од елемент од доменот А).

Во математиката, инјективна функција е функција f : AB ако различни елементи од A се пресликуваат во различни елементи од B, односно за секој елемент b од кодоменот B постој најповеќе еден елемент a од доменот А таков што f(a)=b.[1][2]

Терминот инјективност и сродните термини сирјективност и бијективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки (Nicholas Bourbaki)[3] (и група главно други француски математичари од 20-тиот век) кој напиша серија книги за презентирање на модерна напредна математика, со почеток во 1935 година.

Gen not surjection not injection.svg
Не е инјекција. Постој елемент во кодоменот В со две стрелки од (различни) елементи од доменот А.

Основни своиства[уреди]

Формално имаме:

f:A \rightarrow B  е инјективна функција ако  \forall a_1, \,a_2 ,  \in A, \,\,\,\, a_1 \ne a_2 \,\, \Rightarrow \,\, f(a_1) \ne f(a_2)  или еквивалентно
f:A \rightarrow B  е инјективна функција ако  \forall a_1, \,a_2 ,  \in A, \,\,\,\,f(a_1)=f(a_2) \,\, \Rightarrow \,\, a_1=a_2

Елементот a се вика предслика на елементот b. Предслика на секој елемент во кодоменот на една инјекција не мора да постои. Во првата слика, елементот {4} нема предслика. Baжно е да има максимум една предслика. (Види и: Сурјективна функција, Бијективна функција)

Кардиналност[уреди]

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме #A=4.[4]

  • Ако кардиналноста на кодоменот е помала од кардиналноста на доменот, функцијата не е инјекција. (Едноставно кажано, нема начин да се пресликува 6 елементи во 5 елементи без дупликат.)

Примери[уреди]

Елементарни функции[уреди]

Нека f(x):ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. (Значи влез и излез се броеви.)

  • Графичко толкување: функцијата f е инјективна ако секоја хоризонтала права го пресекува графикот на f во најповеќе една точка (една или ниедна).
  • Алгебарско толкување: функцијата f е инјективна ако f(xo)=f(x1) значи xo=x1.

Пример: Линеарната функција на било која коса права е инјективна, односно y=ax+b каде што a≠0 е инјекција (и сурјекција, така да е бијекција). (Види линеарна функција.)

Доказ: Нека xo и x1 се реални броеви. Претпоставиме дека се пресликуваат во истиот број, т.е. a·xo+b=a·x1+b. Следува a·xo=a·x1. Бидејќи a≠0, следува xo=x1. Значи било кои два броеви кои се пресликуваат во истиот број се исти. Докажано е дека функцијата y=ax+b каде што a≠0 е инјективна.

Пример: Кубната полиномна функција f(x)=x3 е инјективна. Меѓутоа, кубната полиномна функција f(x)=x3 –3x не е инјективна.

Дискусија 1: Било која хоризонтална права го пресекува графикот на f(x)=x3 точно еднаш. (Оваа функција е и сурјективна.)
Дискусија 2: На пример, yo=2 има две предслики: x=–1 и x=2 , а всушност за секој y, –2≤y≤2 функцијата f(x)=x3 –3x има повеќе од еднa предслика, т.е. повеќе од еден x таков што f(x)=y.)

Пример: Квадратната функција f(x) = x2 не е инјективна. Двата броеви x=2 и x=-2 се пресликуваат во {4} со што е докажано дека оваа функција не е инјективна. (Оваа функција не е ниту сурјективна.)

Забелешка: Со ограничување на доменот, често пати можеме да дефинираме нова функција која е инјективна. На пример, со ограничување на доменот на квадратната функција имаме „нова“ функција, f/[0,+∞)(x):[0,+∞) → ℝ каде што f/[0,+∞)(x) = x2 која сега е инјективна функција. Оваа функција се вика рестрикцијата на f до [0,+∞).

Пример: Експоненцијалната функција f(x) = 10x е инјективна. (Oваа функција не е сурјективна.) Дискусија: Било која хоризонтална права над х-оската го пресекува графикот на 10x точно еднаш, а останатите хоризонтални прави не го прескува графикот ниту еднаш.

Забелешка: Инјективноста на експоненцијална функција може да се користи на следниот начин:

a^{x_0}=a^{x_1} \,\, \Rightarrow  \,\, x_0=x_1, \, a>0   односно
Пример:  100=10^{x-3} \,\, \Rightarrow  \,\, 2=x-3 \,\, \Rightarrow  \,\,  x=5 
Line explicit ex.svg
Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)
Xto3.svg
Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (и сурјекција)
Xto3minus3x.svg
Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (е сурјекција)
Xto2.svg
Не е инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)
10tox.svg
Инјекција. f(x):ℝ→ℝ (не е сурјекција)
Logx.svg
Инјекција. f(x):(0,+∞)→ℝ (и сурјекција)

Други примери со реални функции[уреди]

Пример: Инверзната функција на 10x, односно логаритамската функција со основа 10, f(x):(0,+∞)→ℝ дефиниранa со f(x)=log(x) односно y=log(x) е инјективна (и сурјективна).

  • Доколку двете множества A и B имаат повеќе од еден елемент, проекцијата на декартов производ A × B на еден од неговите фактори никогаш не е инјективна функција.
Дискуција: Кардиналноста на A × B е поголема од кардиналноста на A или B.

Наводи[уреди]

  1. Weisstein, Eric. „Injective function“ (на англиски). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Injection.html. конс. јануари 2014. 
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, One-to-One Mapping“ (на англиски). Addison-Wesley. стр. 567. http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf. конс. јануари 2014. 
  3. Miller, Jeff (2010). „Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics“ (на англиски). Tripod. http://jeff560.tripod.com/i.html. конс. февруари 2014. 
  4. Tanton, James (2005). „Encyclopedia of Mathematics, Cardinality“. Facts on File, New York. стр. 60. ISBN 0-8160-5124-0.  (англиски)

Поврзано[уреди]

Надворешни врски[уреди]