Бет-број

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква \aleph (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква \beth (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа \aleph.

Определба[уреди]

Бет-броевите се утврдуваат вака:

нека
\beth_0=\aleph_0

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви \mathbb{N}. Со P(A) го означуваме партитивното множество на A, т.е. множеството на сите подмножества на A. Потоа задаваме

\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},

што е кардиналноста на партитивното множество на A ако \beth_{\alpha} е кардиналноста на A.

Така зададено,

\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots

се кардиналностите на

\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.

па вториот бет-број \beth_1 е еднаков на \mathfrak c (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број \beth_2 е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија V_{\omega+\alpha} \! има кардиналност \beth_{\alpha} \!.

Поврзаност со алеф-броевите[уреди]

Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу \aleph_0 и \aleph_1, следи дека

\beth_1 \ge \aleph_1.

Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме \beth_\alpha \ge \aleph_\alpha за сите ординали \alpha.

Хипотезата за континуумот е еднаква на

\beth_1=\aleph_1.

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е., \beth_\alpha = \aleph_\alpha за сите ординали \alpha.

Поединечни кардинали[уреди]

Бет-нула[уреди]

Бидејќи ова по дефиниција е \aleph_0 (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност \beth_0 се следниве:

Бет-еден[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Кардиналност на континуумот.

Кардиналност \beth_1 имаат следниве множества:

Бет-два[уреди]

\beth_2 се нарекува и 2c (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност \beth_2 се:

Бет-омега[уреди]

\beth_\omega (pronounced beth omega) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

Воопштување[уреди]

Понекогаш се користи поопштиот симбол \beth_\alpha(\kappa) за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

\beth_0(\kappa)=\kappa,
\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_{\alpha}(\kappa)},
\beth_{\lambda}(\kappa)=\sup\{ \beth_{\alpha}(\kappa):\alpha<\lambda \} ако λ е лимесен ординал.

Значи, \beth_{\alpha}=\beth_{\alpha}(\aleph_0).

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

\kappa \le \beth_{\alpha}(\mu).

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

\beth_{\beta}(\beth_{\alpha}(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

\beth_{\beta}(\kappa) = \beth_{\beta}(\mu)

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  • T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995, стр. 5.