Жичено треперење

Жичено треперење или жичена вибрација — резонанца која предизвикува една жица да произведува звук со постојана честота, односно константна интонација. Ако должината или тензијата на жицата е правилно прилагодена, произведениот звук е музички тон. Вибрирачките жици се основа на голем број инструменти, како што се гитарата, виолината и пијаното.

Бран

Брзината на пропагирање на бранот во жица ( $\upsilon$) е пропорционална со коренот од силата на тензија на жицата ( Т ) и обратно пропорционална од коренот на линеарна густина ( $\mu$) на жицата

$\upsilon ={\sqrt {\frac {\mathrm {T} }{\mu }}}$

Овој однос бил откриен од Винченцо Галилеј кон крајот на 1500-тите

Деривација

Нека  ${\displaystyle \Delta x}$ е должината на едно парче жица,m е неговата маса,и $\mu$ нејзината линеарна густина. Ако хоризонталната компонента на тензијата во жицата е константна Т, тогаш напнатоста што делува на секоја страна од жичниот сегмент е дадена со:

$T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.$

${\displaystyle T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.}$

Ако двата агли се мали, тогаш тензиите на двете страни се еднакви и вкупната хоризонтална сила е нула. Од вториот Њутнов закон за вертикалната компонента, масата на ова парче пати неговото забрзување ${\displaystyle a}$,ќе биде еднаква  вкупната сила на парчето:

${\displaystyle \Sigma F_{y}=T_{1y}-T_{2y}=-T_{2}\sin(\beta )+T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.}$

Со делење на овој израз со $\mathrm {T}$ и заменување на првата и втората равенка,се добива:

${\displaystyle {\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}+{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=-\tan(\beta )+\tan(\alpha )}$

Тангенсите на аглите на краевите на жицата се еднакви на падините на краевите, со дополнителен минусен знак,поради дефиницијата на алфа и бета. Користење на овој факти преуредување обезбедува:

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}}$

Во границата во која ${\displaystyle \Delta x}$ се приближува кон нула, левата страна е дефиниција на вториот дериват на ${\displaystyle y}$:

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

Ова е бранова равенка за ${\displaystyle y(x,t)}$и коефициентот на второто време на деривативниот термин е еднаков на ${\displaystyle v^{-2}}$,така што:

${\displaystyle v={\sqrt {T \over \mu }},}$

каде што ${\displaystyle v}$е брзината на пропагирање на бранот во жицата

Сепак, ова изведување важи само за вибрации со мали амплитуди,за оние со голема амплитуда.${\displaystyle \Delta x}$не е добра апроксимација за должината на парчето жица,хоризонталната компонента на тензијата не е нужно постојана, а хоризонталните тензии не се добро пресметани со ${\displaystyle T}$.

Бранова честота

Откако ќе се знае брзината на размножување, може да се пресмета честотата на звукот произведен од жицата. Брзината на размножување на бранот е еднаква на брановата должина ${\displaystyle \lambda }$поделена со периодот ${\displaystyle \tau }$или помножена со честотата ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.}$

Ако должината на низата е ${\displaystyle L}$, основниот хармоник е оној произведен од вибрациите чии јазли се двата краја на жицата,така што ${\displaystyle L}$е половина од брановата должина на основниот хармоник .Оттука, се обива законот на Мерсен:

$f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}$

каде што ${\displaystyle T}$е тензијата (во Њутни),${\displaystyle \mu }$е линеарна густина (односно маса по единица должина),и ${\displaystyle L}$е должината на вибрирачкиот дел од стрингот. Затоа:

• колку што е пократок стрингот, толку е поголема честотата на основата
• колку е поголема тензијата, толку е поголема честотата на основата
• колку е полесен стрингот, толку е поголема честотата на основата

Покрај тоа, ако ја земеме n-та хармоника како да има бранова должина дадена со ${\displaystyle \lambda _{n}=2L/n}$,тогаш лесно можеме да добиеме израз за честотата на n-ти хармоник:

${\displaystyle f_{n}={\frac {nv}{2L}}}$

И за низа под тензија Т со густина ${\displaystyle \mu }$,тогаш

${\displaystyle f_{n}={\frac {n}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$

== Набљудување на жиче ни вибрации == Можат да се видат брановите форми на вибрирачка жица ако честотата е доволно ниска и вибрирачката жица се одржува пред CRT екран, како што е телевизорот или компјутерот (не е аналоген осцилоскоп). Овој ефект се нарекува стробоскопски ефект, а брзината со која се чини дека низата вибрира е разликата помеѓу честотата на жицата и брзината на освежување на екранот. Истото може да се случи и со флуоресцентна светилка со брзина што е разликата помеѓу честотата на низата и честотата на наизменичната струја.(Ако брзината на освежување на екранот е еднаква на честотата на стрингот или целниот број од него, стрингот ќе се појави и понатаму, но ќе се деформира.)При дневна светлина и други не-осцилирачки извори на светлина, овој ефект не се појавува и жицата се појавува, подебели и полесни или нејасни, поради упорноста на видот.

Сличен, но повеќе контролиран ефект може да се добие со употреба на стробоскоп. Овој уред овозможува совпаѓање на честотата на ксенонската флеш-лампа со честотата на вибрации на жицата.Во темна соба, ова јасно го покажува бранот. Инаку, може да се користи со свиткување или, можеби полесно, со прилагодување на главите на машината, за да се добие иста или повеќекратна AC-честота за да се постигне истиот ефект. На пример, во случај на гитара, 6-тата (најниската интонација) низа притиснат на третиот лак дава G на 97.999 Hz. Мало прилагодување може да го смени до 100 Hz, токму една октава над честотата на наизменична струја во Европа и повеќето земји во Африка и Азија, 50 Hz. Во повеќето земји во Америка, каде што честотата на наизменична струја е 60 Hz менувајќи го A# на петтата низа, првиот смут од 116,54 Hz до 120 Hz произведува сличен ефект.