Бранова должина

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Бранова должина на синусоиден бран, λ, може да се измери меѓу кои било две точки со иста фаза, како на пример меѓу испактнините, или вдлабнатините, или пак точките кои соодвествуваат на 0.

Бранова должина — растојанието за кое формата на еден бран во даден период.[1] Ова растојание обуично се определува земајќи ја должината помеѓу две соседни соодветни фази, како на пример испактнините, вдлабнатините, или пак точките кои соодвествуваат на 0, и ова е особина кај подвижните и стојните бранови, како и кај сите останати видови на просторни бранови.[2][3] Брановата должина се означува со ламбда (λ). Претходно изнесеното важи и за периодични бранови од не-синуидална природа.[1][4] Поимот бранова должина исто така се корити и кај модулирани бранови, и синусоидата на модулираниот бран е формирана преку [интерференција] на неколку синусоиди.[5] Единицата мерка во SI системот е метар.

Ако се претпостави дека синусоиден бран се движи со постојана бранова брзина, брановата должина е обратно пропорционална на фреквенцијата на бранот: Брановите со поголеми фреквенции имаат пократки бранови должини, додека пак оние со мали фрквенции имаат долги бранови должини.[6]

Примери за појави кои се бранови се: звучни бранови, светлината и водени бранови. Звучниот бран е промена на воздушниот [притисок], додека пак светлината и останатите електромагнетни бранови имаат промена кај електричното поле и кај магенетното поле. Водените бранови имаат промена кај висината на водениот столб. Кај кристалите или кај вибрациите на кристалната решетка, промените се кај позициите на атомите.

Брановата должина не определува колку далеку се придвижила одредена честичка. На пример, кај синусоидни бранови честичка близу до површината се движи во круг со ист пречник како и брановата висина, независно од брановата должина.[7]

Синусоидни бранови[уреди]

Во физиката, секое браново движење може да се објасни преку независните компоненти на движењето на синусоидни бран. Брановата должина λ на синусоидни бран кој се движи со константна брзина v е дадена со изразот [8]

\lambda = \frac{v}{f},

каде со v се означува фазната брзина на бранот и f е фреквенцијата на бранот. Во диспезирана средина, фазната брзина зависи од фреквенцијата на бранот со што врската меѓу фреквенцијата и брановата должина е нелинеарна.

Во случаите на електромагнетно зрачење на пример светлината, фазната брзина е брзината на светлината, односно околу 3×108 м/с. па така брановата должина на T100 MHz електромагнетен (радио) бран е: 3×108 m/s поделен со 108 Hz = 3 метри. Брановата должина на видливата светлина се движи од темно црвена боја со димензија од околу 700 нм, до виолетова боја со димензија од околу, 400 нм.

За звучните бранови во воздухот, брзината на звукот е 343 м/с (при собна температура и атмосферски притисок). Брановите должини на звучни фреквенции кои човековото уво може да ги чуе (20 Hz–20 кHz) се движат меѓу 17 м и 17 мм,соодветно. Може да се забележи дека брановите должини на звучните бранови кои можат да се чујат се доста подолги од оние на видливата светлина.

Синусоидните стојни бранови во кутија која се затегнува крајните точки кои се т.н јазли ќе имаат вредност од половина бранови должини.
Стоен бран (црн) означен како збир од два придвижени бранови кои се движат во спротивни насоки (црвено и сино)

Стојни бранови[уреди]

Стоен бран — браново движење кое се одвива во едно место. Синусоиден стоен бран има неподвижни точки наречени јазли, и брановата должина е растојанието меѓу три јазли.

На горната слика три стојни бранови во кутија. Се зема дека ѕидовите на кутијата се местото каде брановите имаат јазли со што се определува дозволената бранова должина. На пример, за електромагнетен бран, ако кутијата има идеални метални ѕидови, условот за јазли побарува бранот да нема амплитуда на ѕидот т.е. металните ѕидови не подржуваат тангенцијално електрично поле.

Стојниот бран може да се разгледува како збир на два подвижни синусоидни бранови со спротивно насочени насоки ан движење.[9] Како последица на тоа, брановата должина, периодот, и брановата брзина се поврзани како и кај придвижните бранови. На пример, брзината на светлината може да се одреди преку набљудување на стојни бранови во метална кутија во која има идеален вакуум.

Математички запис[уреди]

Подвижните синусоидни бранови често се претставени математички во однос на нивната брзина v (во насока на х оската), фрквенцијата f брановата должина λ на следниов начин:

  y (x, \ t) = A \cos \left( 2 \pi \left( \frac{x}{\lambda } - ft \right ) \right )  = A \cos \left( \frac{2 \pi}{\lambda} (x - vt) \right )

каде y е вредноста на бранот во однос на x во време t, а A е амплитуда на бранот. Исто така лесто се запишуваат и преку бранов број k (2π помножено со реципрочната бранова должина) и аголан фреквенција ω (2π помножено со брановата должина ):

  y (x, \ t) = A \cos \left( kx - \omega t \right)  = A \cos \left(k(x - v t) \right)

каде брановата должина и брановиот број се поврзани со брзината и фрквенцијата на следниот начин:

 k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi f}{v} = \frac{\omega}{v},

или

 \lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi v}{\omega} = \frac{v}{f}.

Во вториот запис фазата (kxωt) се запишува како (krωt), преку замена на брановиот број k со бранов вектор кој ја одредува насоката на брановиот број во рамнината во тродимензионалниот простор, означен со позициониот вектор r. Во овие случаи, брановиот број k, големината на k, е иста во однос на брановата должина, каде v е скаларна брзина во насока на брановиот вектор. Првата равенка, која користи реципрочна вредност на брановата должина во фазата, не може да се воопшти во бран со случајна насока.

Запишувањето на други фази во синусоидна форма и во комплексни експоненти е доста често. Употребата на фазата косинусот наместо фазата на синусот кога се опишуваат брановите се објаснува со фактот дека косинусот е реалниот дел на комплексниот експонент на бранот.

A e^{ i \left( kx - \omega t \right)}.

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. 1,0 1,1 Hecht, Eugene (1987). „Optics“ (2nd издание). Addison Wesley. стр. 15–16. ISBN 0-201-11609-X. 
  2. Raymond A. Serway, John W. Jewett. „Principles of physics“ (4th издание). Cengage Learning. стр. 404, 440. ISBN 0-534-49143-X. http://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA404. 
  3. A. A. Sonin (1995). „The surface physics of liquid crystals“. Taylor & Francis. стр. 17. ISBN 2-88124-995-7. 
  4. Brian Hilton Flowers (2000). „§21.2 Periodic functions“. „An introduction to numerical methods in C++“ (2nd издание). Cambridge University Press. стр. 473. ISBN 0-19-850693-7. http://books.google.com/books?id=weYj75E_t6MC&pg=RA1-PA473. 
  5. Keqian Zhang and Dejie Li (2007). „Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics“. Springer,. стр. 533. ISBN 978-3-540-74295-1. http://books.google.com/books?id=3Da7MvRZTlAC&pg=PA533&dq=wavelength+modulated-wave+envelope. 
  6. Theo Koupelis and Karl F. Kuhn (2007). „In Quest of the Universe“. Jones & Bartlett Publishers. ISBN 0-7637-4387-9. http://books.google.com/books?id=WwKjznJ9Kq0C&pg=PA102&dq=wavelength+lambda+light+sound+frequency+wave+speed. 
  7. Paul R Pinet (2008). „Invitation to Oceanography“ (5th издание). Jones & Bartlett Publishers. стр. 237. ISBN 0-7637-5993-7. http://books.google.com/books?id=6TCm8Xy-sLUC&pg=PA237. 
  8. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). „Understanding physics“. Birkhäuser. стр. 339 ff. ISBN 0-387-98756-8. http://books.google.com/books?id=rpQo7f9F1xUC&pg=PA340. 
  9. John Avison (1999). „The World of Physics“. Nelson Thornes. стр. 460. ISBN 978-0-17-438733-6. http://books.google.com/books?id=DojwZzKAvN8C&pg=PA460&dq=%22standing+wave%22+wavelength.