Мера (математика)

Мера, во математиката, концепт при кој на дадено множество од некој простор му се придружува ненегативен реален број.

Грубо и лаички кажано, мерата означува колку од просторот зафаќа множеството. Таа се воведува од практични причини во реалниот Евклидов простор. Мерата во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност должина, во дводимензионалниот е плоштина, додека во тридимензионалниот - волумен. За сите димензии над третата се користи само терминот мера.

Конструкција на мерата

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

$(a,b)=\{x\in \Bbb{R} | a<x<b\}$

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина $\ell$ со:

$\ell(a,b)=b-a$

Нека $E\subseteq \Bbb{R}$ е произволно подмножество од реалните броеви, а $\{I_n\}_{n \in \Bbb{N}}$ е произволна фалимија отворени интервали таква што:

$E\subseteq \bigcup_{n\in \Bbb{N}} I_n = \mathcal{U}$

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

$m^{*}(E) = \inf_{E\subseteq \mathcal{U}} \left \{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n)\right \}$

Нека $E\subseteq \Bbb{R}$ е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за $E$ велиме дека е мерливо множество ако:

$\left ( \forall A\subseteq \Bbb{R} \right ),\,\,\ m^*(A\cap E)+m^*(A\cup E^c)=m^*(A)$

Ако $E$ е мерливо множество, тогаш надворешната мера на $E$ се вика Лебегова мера на $E$, и пишуваме:

$m(E)=m^*(E)$

Својства на мерата

Најважните својства на мерата се:

• Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества $\{E_n\}_{n\in \Bbb{N}}$ важи:

$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \le \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)$

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако $E_i \cap E_j = \emptyset,\;i\neq j$, тогаш важи:

$m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(E_N)$

• Ако за фамилијата множества $\{E_n\}_{n\in \Bbb{N}}$ со конечна мера важи: $E_1\supseteq E_2\supseteq\dots\supseteq E_n\supseteq\dots$, тогаш:

$m\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \lim_{n\to\infty} m(E_n)$

Види исто така

• Количество
• Должина
• Плоштина
• Волумен