Карактеристична функција

Карактеристична функција на случајна променлива е функција која се среќава во теоријата на веројатност.

Дефиниција

Нека $X$ е случајна променлива со функција на густина на веројатност $f(x)$. Тогаш карактеристична функција $\Phi(\omega)$ на случајната променлива $X$ е по дефиниција дадена со:

$\Phi(\omega) = E\{ e^{j \omega X} \} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{j \omega x} \, dx.$

Својства

Се забележува дека $\Phi(\omega)$ е Фуриевата трансформација на функцијата $f(x)$, така што својствата кои важат за Фуриевата трансформација ќе важат и за оваа функција.

Може да се забележи дека карактеристичната функција има максимум за $x=0$, бидејќи со оглед на ненегативноста на функцијата на густина на веројатност, $f(x) \ge 0$, важи:

$|{\Phi}_X(\omega)| \le {\Phi}_X(0) = 1.$

Ако $j\omega$ во дефиницијата се замени со $s$, се добива функцијата на генерирање на моменти ${\Phi}_X(s)$ на случајната променлива $X$.

Наводи

A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002

Видете исто така

• Фуриева трансформација
• Случајна променлива
• Функција на густина на веројатност
• Функција на генерирање на моменти
• Втора карактеристична функција
• Втора функција на генерирање на моменти
• Моменти
• Кумуланти
• Теорема на моменти