Коефициент на асиметрија

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Споредба на средина, медијана и модус на два логаритамски нормални распореди со различна асиметрија (наклон).

Мерките на асиметрија во статистиката се вбројуваат во показателите на обликот на распоредот. Во статистичката анализа се воведени мерки на обликот на распоредот за да се диференцираат распоредите од ист степен на хомогеност. Мерки на обликот на распоред се: коефициент на асиметрија и коефициент на сплеснатост (збирно „наклон, накосеност“).

Распоредот е асиметричен доколку опсервациите не се симетрично распределени на двете страни.

Мерките на асиметрија се нумеричка карактеристика на начинот на распоредот на податоците. Со помош на мерките на асиметрија се мери начинот на распоред на единиците на статистичката маса спрема некои вредности, односно спрема оската на симетрија. Мерките на обликот на распоредот се пресметуваат со помошни и централни моменти на распоред.[1]

Пресметување на коефициентот на асиметрија[уреди]

Коефициентот на асиметрија е релативна мерка на асиметрија. За мерење на асиметријата потребни се отстапувањата на вредностите на нумеричката варијабла од аритметичката средина – трет централен момент.

  • за негрупирани податоци
формула за м3 за негрупирани податоци
  • за групирани податоци
формула за м3 од групирани податоци

Коефициентот на асиметрија (α3) е нумерички показател кој покажува до кој степен определен распоред е симетричен во однос на нормалниот. Тој се добива кога третиот централен момент се става во однос со стандардното отстапување на трет степен.

формула за коефициент на асиметрија


Најчесто се движи во интервал [-2, +2] а понекогаш зазема и поголеми вредности.

Коефициентот на асиметрија ги користи сите отстапувања на вредностите на нумеричката варијабла од аритметичката средина и според тоа таа е потполна мерка на асиметрија.

Кај симетричните распореди на фреквенциите α3 = 0. Ако α3 > 0, тогаш распоредот е позитивно асиметричен (асиметричен на десно). И обратно, ако α3 < 0, тогаш распоредот е негативно асиметричен (асиметричен на лево).
[2]

симетричен распоред
позитивно асиметричен распоред
негативно асиметричен распоред


За определување на насоката на асиметријата се користи знакот на третиот централен момент или редот на големините на средните вредности. Кај симетричните распореди важи: М=Ме=Мо. Кај лево асиметричните (негативно асиметричните) важи: М<Ме<Мо. Кај десно асиметричните ( позитивно асиметричните) важи: М>Ме>Мо. Квалитативните толкувања на искривеноста се комплицирани. За едномодален распоред, негативната искривеност укажува на тоа дека опашката на левата страна на густината на веројатност е подолга и подебела од десната страна. Спротивно на тоа, позитивната искривеност укажува на тоа дека опшката од десната страна е подолга и подебела од левата страна. Во случаите каде една опашка е подолга, а другата е подебела, искривеноста не се придржува на едноставното правило. На пример, нула вредност укажува на тоа дека опашките се наоѓаат рамнотежно на двете страни од средината, што е случај кај симетричниот распоред, и за асиметричните распореди каде асиметриите се надоместуваат, како на пример, една опашка е долга, но тенка, а другата е кратка и дебела. Понатаму, во повеќемодалните распореди и дисктретни распоред, искривеноста е исто така тешко да се протолкува. Поважно, искривеноста не го утврдува односот на средината и медијаната.


Нормалиот распоред е распоредна податоци во облик на ѕвоно, каде средината, медијаната и модата се софпаѓаат. А кривата на фреквенција покажува нормален распоред. Во нормален распоред, околу 68% од вредностите лежат во една стандардно отстапување од средината и околу 95% од податоците лежат во две стандардни отстапувања од средината.

Ако има крајните (екстремни) вредности кон позитивниот крај на распоредот, се вели дека распореде позитивно искривен. Во позитивно искривениот распоред, средината е поголема од модата. Негативна искривеност, од другата страна, има средина која е помала од модата поради присуството на краните вредности на негативниот крај на распоредот.[3]

Јачина на асиметрија[уреди]

Во зависност од големината на коефициентот на асиметрија се одредува и јачината на асиметрија.

| α3 | ≤ 0,25 – мала јачина
0,25 < | α3 | ≤ 0,50 – средна јачина
| α3 | > 0,50 – јака јачина[4]

Доколку коефициентот е во интервал [-0,5; +0,5] тогаш се смета дека распоредот има умерена асиметрија.

Поедноставено пресметување на третиот централен момент[уреди]

Пресметувањето на третиот централен момент може да се поедностави со формулата:

формула за трет централен момент

Во претходниот израз mr претставува помошен момент дефиниран за:

  • за негрупирани податоци
формула за мр од негрупирани податоци
  • за групирани податоци
формула за мр од групирани податоци

Користејќи ги помошните моменти може да се пресмета и стандардното отстапување.[5]

формула за стандардно отстапување

Прв Пирсонов коефициент (β1)[уреди]

Меѓусебните односи на средните големини и нивните својства, се значајни за изработка на Пирсоновиот модел на коефициентот на асиметрија. Најпогодни за матеметичка анализа се структурните серии со нумерички белези или распореди на фреквенции. Врз нив се врши комплексна статистичка анализа. Во показателите на распоредите, покрај средните големини и мерките на дисперзија се вбројуваат и мерките на асиметрија и сплеснатост на распоредот кои се однесуваат на неговиот облик.[6]

Пирсоновата мерка на асиметрија се темели на односите на аритметичката средина и модата,односно медијаната во нумеричката низа.

  • симетричен распоред
  • позитивно асиметрична
  • негативно асиметрична

Помеѓу крајот на 19 век и почетокот на 20 век , Карл Пирсон истражувал огромни бази на податоци од кои некои значително се разликувале од нормалните распореди и воедно ги изучувал таквите отстапувања. За таа цел го конструирал коефициентот на асиметрија, кој според него е наречен прв Пирсонов коефициент. Според оваа мерка доколку коефициентот е еднаков на нула распоредите се симетрични. Тој открил дека за умерено асиметричниот распоред каде што Мо е ознака за модус и Ме ознака за медијана: Мо - ẍ≈ 3*(Мe - ẍ )[7]

Симетрична дистрибуција пирсон.jpg
Позитивна асиметрија пирсон.jpg
Негативна асиметрија пирсон.jpg

Пирсоновиот коефициент претставува однос на разликата на аритметичката средина и модусот спрема стандардното отстапување.

формула за пирсонов коефициент

Пирсоновите мерки се дадени со изразот:

Пирсонова мерка.jpg

Пирсоновиот коефициент вообичаено се движи во интервал [-3; +3].

Доколку Sk=0 распоредот има симетричен облик. Ако Sk = ±3 се смета дека распоредот има позитивна или негативна асиметрија.[8]

Боулиева мерка на асиметрија[уреди]

Боулиевата мерка на асиметрија се темели на односите на квартилите и медијаната. Пресметувањето на Боулиевиот коефициент на асиметрија е дадено со изразот:

формула за боулиев коефициент

Вообичаено се движи во интервал ± 1.

Во симетричниот распоред Буловиот коефициент е 0. Во позитивна асиметрија е позитивен, а во негативна асиметрија е негативен.

  • симетричен распоред
  • позитивна асиметрија
  • негативна асиметрија
Симетрична дистрибуција боул.jpg
Позитивна асиметрија боул.jpg
Негативна асиметрија боул.jpg

Буловата и Пирсоновата мерка се непотполни мерки на асиметрија и се помалку информативни од коефициентот на асиметрија, но се пресметуваат поедноставно и побрзо.[9]

Поврзано[уреди]

Наводи[уреди]

  1. Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.
  2. "Статистика за бизнис и економија" - Пол Њуболд, Вилијам Л. Карлсон, Бети Торн
  3. http://www.mathsrevision.net/alevel/pages.php?page=55
  4. http://www.ef.uns.ac.rs/Download/statistika/2010-10-20_deskriptivna_statisticka_analiza.pdf
  5. http://www.unizd.hr/portals/4/nastavni_mat/2_godina/statistika/statistika_05.pdf
  6. "Статистика за бизнис и економија" - Второ издание Проф. д-р Славе Ристески
  7. http://www.springerreference.com/docs/html/chapterdbid/60828.html
  8. Ристески Славе, Тевдовски, Драган (2010): „Статистика за бизнис и економија“, четврто издание, Скопје: Економски факултет - Скопје.
  9. http://www.belimantil.info/Skripte/IIIgodina/Statistika/Statistika%20-%20skripta%20(HR).pdf