Динамичен систем

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Фазен дијаграм Лоренцовиот атрактор — популарен пример на нелинеарен динамичен систем. Со проучувањето на слични системи се занимава теоријата на хаосот.

Динамичен систем претставува математичка апстракција предодредена за опишување и проучување на системите кои еволуираат со текот на времето.

Општи информации[уреди]

Динамичниот систем може да биде претставен во вид на „црна кутија“ со „влезови“ и „излези“: „влезовите“ претставуваат надворешни (на пример, управувачки) дејства на системот, додека „излезите“ — соодветна реакција на системот (негово однесување). Според ова, овој концепт е важен при потрагата по управувачки дејства што го осигуруваат посакуваното однесување на системот.

Динамичниот систем може исто така да биде претставен како систем кој се наоѓа во одредена состојба. Според ова, динамичниот систем ја опишува (во целост) динамиката на некој процес, поточно: процесот на преод на системот од една состојба во друга. Фазниот простор на системот е севкупноста од сите можни (допуштени) состојби на динамичниот систем. На овој начин, динамичниот систем се карактеризира со својата почетна состојба и законот според кој системот преминува од почетната состојба во друга.

Се разликуваат системи со дискретно време и системи со непрекинато (постојано) време.

Кај системите со дискретно време, кои традиционално се нарекуваат каскади, однесувањето на системот (или, што е исто, траекторијата на системот во фазниот простор) се опишува со последователноста на состојбите. Кај системите со непрекинато време, кои традиционално се нарекуваат потоци, состојбата на системот е определена во секој момент од времето на реалната или комплексната оска. Каскадите и потоците се основен предмет на проучување во симболната и тополошката динамика.

Динамичниот систем (како со дискретно, така и со непрекинато време) по правило се јавува како синоним на автономниот систем на диференцијалните равенки зададен во некоја област, каде ги задоволува условите на теоремите за постоење и единственост на решенијата на диференцијалната равенка. Положбите на рамнотежата на динамичниот систем соодветствуваат на единечните точки на диференцијалната равенка, а затворените фазни криви — на нејзините периодични решенија.

Основната содржина на теоријата на динамичните системи е проучувањето на кривите кои се определени од диференцијалните равенки. Ова го вклучува и разбивањето на фазните простори на траектории и проучувањето на однесувањето на тие траектории во просторот: барање и класификација на рамнотежа, одделување на привлекувачките (атрактори) и оддалечувачките (репелери) множества (или многуобразија). Најважниот поим во теоријата на динамичните системи е стабилноста (способност на системот колку што е можно повеќе да остане околу положбата на рамнотежа или на зададеното многуобразие) и грубоста (запазување на својствата при мали промени на структурата на динамичниот систем).

Со вклучувањето на веројатносно-статистичките претстави во ергодичната теорија на динамичните системи се доаѓа до поимот динамичен систем со инваријантна мерка.

Современата теорија на динамичните системи се јавува како збирно име за проучувањето каде широко се употребуваат и на ефективен начин се комбинираат методите од различните гранки на математиката: топологија и алгебра, алгебарска геометрија и теоријата на мерки, теоријата на диференцијалните форми и теоријата на катастрофите.

Дефинирање[уреди]

Нека X е произволен тополошки простор.

Динамичен систем, зададен во тополошкото пространство X, се нарекува изразот g\colon R\times X\to X од видот g(t,x)=g^{t}x (t\in R и x\in X), кој е диференцијален израз, при што \{g^{t}\} образува група на преобразба на тополошкиот простор X. Последното означува дека g^{0} е идентитетскиот одраз на просторот X и дека секои s, t\in R го исполнуваат идентитетот g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}.