Просек

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во математиката, просек или средна тенденција [1] на податоци ја претставува „средната“ или „очекувана“ вредност на податокот. Има различни дескриптивни статистики кои може да се одберат за одредување на средната тенденција на податоците.

Просечната е поединечна вредност која се карактеризира со различни вредности. Ако сите броеви во листата се исти, тогаш тој број се применува. А, ако сите броеви не се исти, тогаш најлесен начин да се дојде до репрезентативма вредност од листата е случајно да се избере еден број од листата. И покрај тоа, терминот 'просек' обично се придржува до пософистицирани методи, кои се сметаат за покорисни.

Највообичаениот метод е аритметичката средина. Има многу дриги видови на просек, како медијана (скоро секогаш се употребува за да се опишат цените и приходите). [2]Пресекот се пресметува со комбинација на величините поврзани со множеството и за да се пресмета бројот кој е просек во тоа множество.

Пресметка[уреди]

Споредба на модус, медијана и средина.

Ариметичка средина[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Аритметичка средина.

Ако се дадени n броеви, секој број обележан како ai, каде i=1, \dots ,n, аритметичката средина е збир од ai's поделен со n или

AM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i.

Аритметичката средина, често поедноставно се нарекува средина, ако два броја како 2 и 8 се дадени со претставување на вредноста 2 + 8 = A + A. Вредноста на А е (2 + 8)/2 = 5. Промената на редот 2 и 8 во 8 и 2 не ја менува вредноста добиена за А. Средината 5 не епомала од минимумот 2 и не е поголема од максимумот 8. Ако го зголемиме бројот на елементи во листата и сакаме да најдеме средна вредност, на пр. аритметичка средина од 2, 8 и 11 се наоѓа со решавање на равенката 2 + 8 + 11 = A + A + A. Каде A = (2 + 8 + 11)/3 = 7.

Повторно, промената на местата на трите елементи во листата не предизвикува промени во резултатот: A = (8 + 11 + 2)/3 = 7 и дека 7 е меѓу 2 и 11. Овој метод на собирање лесно се применува и важи за списоци и со повеќе елементи. И покрај тоа, средната вредност на листата од цели броеви не е секогаш цел број. „Просечното семејство има 1.7 деца„ води кон тоа да се заклучи дека „просечниот број на деца во смејството е 1.7“.

Геометриска средина[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Геометриска средина.

Геометриската средина од n броеви се добива со нивно множење и потоа наоѓање на n-ти корен. Сo алгебарски термини, геометриската средина од a_1, a_2, ..., a_n е дефинирана како

GM=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}=\sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}

Геометриската средина може да се смета како антилогаритам на аритметичката средина на логаритмите на броевите.

На пр. геометрсика средина од 2 и 8 е GM = \sqrt{2 \cdot 8} = 4.

Хармонска средина[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Хармонска средина.

Хармонската средина на множеството броеви a_1, a_2, ..., a_n се дефинира како реципрочна вредност на аритметичката средина на вреностите на a_i:

HM = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n \frac{1}{a_i}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}

На пример, ако брзината со која од точката A се стигнува до точката B била 60 km/h и брзината со која се враќа од точката B до точката A била 40 km/h, тогаш просечната брзина изнесува \frac{2}{1/60+1/40}=48.

Нееднаквост на AM, GM и HM[уреди]

A well known inequality concerning Arithmetic, Geometric, and Harmonic means for any set of positive numbers is

AM \ge GM \ge HM

Лесно е да се запамети дека ништо не значат буквите A, G и H во нееднаквоста, ако не се знае што означуваат. Видете нееднаквост на аритметичката и геометрисклата средина.

Медијана и мода[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Медијана.

Медијана е средниот број од група на броеви, кои се распоредени редоследно. (ако има парен број на броеви, тогаш за медијана се аритметичката средина од двата средни броја.)

За да се најде медијаната, потребно е да е најде бројот на елементите, и тогаш да се отсртранува по еден број од лево и десно наизменично, сѐ додека не се дојде до последниот број од лево. Ако остане еден број од лево, тогаш неговата вредност е медијана, а ако останат два тогаш медијаната претставува аритметичка средина на овие два броја. Овој метод во листата на броеви 1, 7, 3, 13 може да се прочита и како 1, 3, 7, 13. Тогап 1 и 13 се отстрануваат, по што остануваат само 3 и 7.. Бидејќи остануваат само два елемамнти во листата, медијаната е нивната аритметичка средина (3 + 7)/2 = 5.

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Мода (статистика).

Бројот којшто најмногу пати се појавува во листата на броеви се нарекува мода. Мода во листата на броеви 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 е бројот 3. Модата не е секотгаш дефинирана, така што да има една вредност. Листата на броеви 1, 2, 2, 3, 3, 5 има две моди: 2 и 3. Модата може да се вклучи во главниот метод на дефинирање на просекот со земање на листата и преместување на секој член, зависно од неговата вредност, почнувајќи од најмалиот. Тогаш, оваа листа е изедначена со дадената, само што нејзините членови се распоредени, почнувајќи од најмалиот. Сега, кога тие се еднакви, тогаш е очигледно да се забележи честотта на секој број и да се утврди модата. Модта може да се употребува и ако има многу членови во листата и ако фреквенцијата на броевите праволиниски се зголемува (на пр. ако во група од 1000 луѓе, 30 се со маса 61 kg, 32 тежат 62 kg, 29 тежат 63 kg и ако останатите луѓе се со помала фреквенција за некоја маса, тогаш 62 kg е мода).

Годишно враќање[уреди]

Годишното враќање е вид на просек кој се користи во финансиите. Тоа е пример на геометриска средина. На пример, ако е даден период од две годиниa и враќањето на вложувањето во првата година изнесува −10%, а во втората +60%, тогаш годишното враќање R, може да се пресмета со решавање на равенката: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R) × (1 + R). Вредноста на R за која равенството е точно е 0.2 или 20%. Забележително е дека промената на редоследот во наоѓањето на годишното враќање ма +60% и −10% го дава истиот резултат како и при множењето на враќањата од −10% и +60%.

Овој метод може да се воопшти во примерите во кои сите периоди не се со траење од една година. Годишното врачќање е варијација од геометриска средина, која обезбедува интензивна примена на годишното враќање, во согласност со листата на враќања. to a list of returns. На пример, за период од половина година за која враќањето е −23% и период за две и пол години, закои враќањето е +13%. Годишното враќање за комбинираниот период е единечно годишно враќање, R, кое е решение на следнава равенка: (1 − 0.23)0.5 × (1 + 0.13)2.5 = (1 + R)0.5+2.5, што дава вредност на годишното враќање R еднаква на 0.0600 или 6.00%.

Видови[уреди]

Таблицата на матем,атички симболи ги објаснува симболите користени подолу.

Назив Равенка или објаснување
Аритметичка средина \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n)
Медијана Средната вредност, која ги одвојува едната од другата половина од дадените податоци
Геометриска медијана Ротациона инваријанта проширена од медијаната за вредностите во Rn
Мода Вредноста која најчесто се појавува во групата на податоци
Геометриска средина \bigg(\prod_{i=1}^n x_i \bigg)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}
Хармонска средина \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
Квадратна средина
(or RMS)
\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} =
\sqrt {\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
Експоненцијална средина \sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p}
Аритметичка средина на популација \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}
Скратена средина Аритметичка средина на вредностите на податоци, по отстранување на најголемиот и најмалиот член од групата
Интерквартална средина Специјален случај на скратена средина со примена на интерквартален опсег
Среден опсег \frac{\max x + \min x}{2}
Изедначувачка средина Слично како кај скратената средина, само што не доаѓа до отстранување на екстремните вредности, туку изедначување со најголемата и најмалата вредност којашто остануваат
Годишно враќање  {\left[ \prod (1+R_i )^{t_i} \right] }^{1/\sum t_i} -1

Решенија на варијациските проблеми[уреди]

Некои пресметувања на средната тенденција може да се карактеризираат како решавање на варијациски проблем, познати и како анализа на варијации, имено минимизациска варијација од средината. Тоа е дадената вредност на статистичка дисперзија, која ја мери средната тенденција на минимизираната варијација: како варијацијата од средината која е еднаква на сите минимуми меѓу сите избори за средината. Духовито речено, „дисперизјата претходува на локацијата“. Во значењето на L^p просторот, односите се:

L^p dispersion central tendency
L^1 просечно апсолутно отстапување медијана
L^2 стандардно отстапување средина
L^\infty максимално отстапување среден опсег

Стандардното отстапување за средината е помало од стандардното отстапување за некоја друга точка; единственоста на оваа карактеристика на средината и средниот опсег следува од конвексната оптимизација, како што L^2 и L^\infty се конвексни функции. Се забележува дека медијаната овде е главен уникат и всушност секоја точка меѓу две средни точки на дискретната распределба го минимизира просечното апсолутно отстапување.

Слично, модата ја минимизира квалитативната варијација.[се бара извор]

Мешовити видови[уреди]

Други пософистицирани просеци се: трисредина, тримедијана и нормализираната средина. Овие обично се порепрезентативни до целата група на податоци. [се бара извор]

Еден може да создаде сопствен просек со примена на Колмогоровата средина:

y = f^{-1}\left(\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\right),

каде f е секоја инверзна функција. Хармоничната средина е пример на употребата наf(x) = 1/x и геометрисклата средина е друга, со примена на f(x) = log x. Друг пример, експоненцијалната средина е средина со примена на функцијата f(x) = ex и восамата приропда се склони вредностите кон најголемата. И покрај тоа, овој метод на експоненцијална средина iне е доволен за да се одредат сите средини Подобар метод за одредување на средината, y, земајќи некоја функција од листата g(x1, x2, ..., xn), која е симетрична со пермутацијата од членовите во листата и се изедначува со истата функција со вредност на просечната, распоредувајќи го секој член од листата: g(x1, x2, ..., xn) = g(y, y, ..., y). Оваа најважна дефиниција има значајна примена во одредувањето на сите просеци од елементите во листата: The function g(x1, x2, ..., xn) =x1+x2+ ...+ xn ја дава аритметичката средина. The function g(x1, x2, ..., xn) =x1·x2· ...· xn ја дава геометриската средина. The function g(x1, x2, ..., xn) =x1−1+x2−1+ ...+ xn−1 ја дава хармоничната средина (видете Џин Биби (1974) „Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,“ Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, стр. 63–65.)

Во базата на податоци[уреди]

Концептот на просечната фредност може да биде претставен како база на податоци, односно гволема низа, во рамките на која целта е да се најде вредноста која е на некој начин подееднакво поврзана со секој податок. Базата може да биде распоредена во време, како и збогатениот систем, на податоци од којшто се сака да се отстрани збиеноста или просторот, or in space, акако во пиксели на сликата од која се сака да се извлечее примена. лесно разбирлива и применувана примена на просечната вредност до базата е едноставниот движечки просек во кој се пресметува аритметичка средина од најсвежите N податоци во базата. За да се напредува една позиција во базата, се додава 1/N пати новиот податок и се одзема 1/N податокот N вратен во базата.

Етимологија[уреди]

Оригиналното значњење на зборот просек е „долготрајна опасност на море„: истиот збор е пронајден во арапскиот јазик како awar, во италијанскиот avaria и во францускиот avarie. Според тоа пресметувач на просек е лице коешто проценува загуба којашто може да се осигура.

Поморскиот ризик е или делумен просек, кој настанува само за сопственикот на ризичниот имот, или хаварија, кога сопственикот може да потврди пропорционални придонеси од сите учесници во поморскиот ризик. Видот на пресметката користена во пресметувањето на хаваријата го зголемува толкувањето ан терминот „просек“ како „аритметичка средина“.

Видете исто така[уреди]

Наводи[уреди]

  1. Во статистиката,. терминот средна тенденција во некои полиња се користи како емпириско истгражување за да се добие она што статистичарите понекогаш го нарекуваат „локација“.
  2. An axiomatic approach to averages is provided by John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalization of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.

Наводи[уреди]

Надворешни врски[уреди]