Од Википедија — слободната енциклопедија
Графичко толкување на теоремата. Нацртаната крива е параметризирана од променливата t.
Интегрирање по делови, или уште парцијална интеграција , во математиката еден од основните методи за решавање на интеграли . Се применува, во слични облици, и кај определените и кај неопределените интеграли. Правилото всушност ги дава потребните услови за постоење на интегралот од производот на две функции , како и начинот на негово пресметување, доколку тој секако постои.
Парцијална интеграција кај неопределен интеграл [ уреди | уреди извор ]
Формално тврдењето е следново: нека
f
{\displaystyle \ f}
и
g
{\displaystyle \ g}
се диференцијабилни функции на некој интервал. Ако функцијата
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \ f^{\prime }(x)g(x)}
има примитивна функција на интервалот, тогаш и функцијата
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)g^{\prime }(x)}
има примитивна функција на истиот интервал и важи:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Ќе ја покажеме точноста: за изводот од производот на функциите
f
{\displaystyle \ f}
и
g
{\displaystyle \ g}
имаме:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \left(f(x)g(x)\right)^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}
односно:
f
(
x
)
g
′
(
x
)
=
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
−
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g^{\prime }(x)=\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)}
Ако го интегрираме равенството, заради својствата на интегрирањето имаме:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
[
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
−
f
′
(
x
)
g
(
x
)
]
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left[\left(f(x)g(x)\right)^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x)\right]\,dx}
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
d
x
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=\int \left(f(x)g(x)\right)^{\prime }\,dx-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Конечно:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање .
Парцијална интеграција кај определен интеграл [ уреди | уреди извор ]
Формално тврдењето е следново: нека функциите
f
{\displaystyle \ f}
и
g
{\displaystyle \ g}
се глатки (имаат непрекинат прв извод ) на интервалот
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Тогаш точно е следново равенство:
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
|
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,dx=f(x)g(x)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f^{\prime }(x)g(x)\,dx}
Доказот на ова тврдење е ист како кај неопределениот интеграл, со таа разлика што сега се земени предвид границите на интеграција.
Видете ги примерите во статијата за Интегрално сметање .