Алтернативен ред

Од Википедија, слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,

каде што an ≥ 0 (или an ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум[уреди]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Лајбницов критериум.

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите an монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата a_n конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако m е непарен број m<n, проценката S_m - S_n < a_{m} може да се добие преку следнава пресметка:


\begin{align}
S_m - S_n & =
\sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k  \\
& =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\
& =\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n \le a_{m+1}\le a_{m}
\end{align}

Бидејќи a_n е монотоно опаѓачка низа, членовите -(a_m - a_{m+1}) се негативни. На тој начин се добива последното неравенство S_m - S_n \le a_{m}. На сличен начин може да се докаже дека -a_{m}\le S_m - S_n . Бидејќи a_{m} конвергира до 0, делумните суми S_m сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај m да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција[уреди]

Апсолутна конвергенција[уреди]

Редот \sum a_n конвергира апсолутно ако редот \sum |a_n| конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

  • Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.
Доказ

Да претпоставиме дека редот \sum a_n е апсолутно конвергентен. Тогаш, \sum |a_n| е конвергентен и следува дека \sum 2|a_n|, исто така, конвергира. Бидејќи  0 \leq a_n + |a_n| \leq 2|a_n|, редот \sum (a_n + |a_n|) конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот \sum a_n конвергира како разлика од двата конвергентни реда, \sum a_n = \sum (a_n + |a_n|) - \sum |a_n|.

Условна конвергенција[уреди]

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\!

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\!

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери[уреди]

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

\sum_{k=1}^\infty \frac1k = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots\to\infty.

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

 \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots
 \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots.

Поврзано[уреди]