Алтернативен ред

Алтернативен ред е бесконечен ред во математиката од обликот:

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,$

каде што a_n ≥ 0 (или a_n ≤ 0) за сите n. Конечната сума на редот од овој облик се нарекува „алтернативна сума“.

Лајбницов критериум

Лајбницовиот критериум претставува теорема на германскиот математичар Готфрид Вилхелм Лајбниц, според која, алтернативниот ред конвергира ако членовите a_n монотоно конвергираат до 0.

Доказ

Да претпоставиме дека низата $a_n$ конвергира до 0 и монотоно опаѓа. Ако $m$ е непарен број $m<n$, проценката $S_m - S_n < a_{m}$ може да се добие преку следнава пресметка:

$\begin{align} S_m - S_n & = \sum_{k=0}^m(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k \\ & =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots+a_n\\ & =\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) -\cdots-a_n \le a_{m+1}\le a_{m} \end{align}$

Бидејќи $a_n$ е монотоно опаѓачка низа, членовите $-(a_m - a_{m+1})$ се негативни. На тој начин се добива последното неравенство $S_m - S_n \le a_{m}$. На сличен начин може да се докаже дека $-a_{m}\le S_m - S_n$. Бидејќи $a_{m}$ конвергира до $0$, делумните суми $S_m$ сочинуваат Кошиева низа (т.е. редот го задоволува Кошиевиот критериум за конвергенција на редови) и поради тоа конвергира. Во случај $m$ да е парен број, доказот е ист.

Конвергенција

Апсолутна конвергенција

Редот $\sum a_n$ конвергира апсолутно ако редот $\sum |a_n|$ конвергира. Во врска со апсолутната конвергенција важи следнава теорема:

• Апсолутно конвергентните редови се конвергентни.

Доказ

Да претпоставиме дека редот $\sum a_n$ е апсолутно конвергентен. Тогаш, $\sum |a_n|$ е конвергентен и следува дека $\sum 2|a_n|$, исто така, конвергира. Бидејќи $0 \leq a_n + |a_n| \leq 2|a_n|$, редот $\sum (a_n + |a_n|)$ конвергира според споредбениот тест. Одовде, редот $\sum a_n$ конвергира како разлика од двата конвергентни реда, $\sum a_n = \sum (a_n + |a_n|) - \sum |a_n|$.

Условна конвергенција

Редот конвергира условно ако конвергира, но не конвергира апсолутно.

На приер, хармонкискиот ред:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},\!$

дивергира, додека алтернативниот облик од редот:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},\!$

конвергира според тестот за алтернативни редови.

Примери

Едноставен пример на алтернативен ред е хармонискиот ред со променлив знак:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2$

во спротивност на хармонискиот ред во општ облик:

$\sum_{k=1}^\infty \frac1k = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots\to\infty.$

Веројатно најпознати алтернативни редови се развојните редови за тригонометриските функции синус и косинус:

$\sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots$

$\cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots.$

Поврзано

• Ред (математика).