Имагинарна единица

Степените на бројот i циклично се повторуваат:

$\ldots$ (се повторува делот означен со сина боја)

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$ (се повторува делот означен со сина боја)

Во математиката, физиката и инженерството, имагинарната единица се означува како $i\$   или латинично $j\,$  или со грчката буква јота. Таа овозможува системот на реален бројреални броеви да се прошири на системот на комплексен бројкомплексни броеви, $\mathbb {C} .$  Прецизната дефиниција зависи од методот на проширување.

Основната мотивација за ова проширување е фактот дека постојат полиномполиновмни равенки со реални коефициенти $f(x)=0$ кои немаат решенија со реални броеви. Поконкретно, равенката $x^{2}+1=0$ нема реални решенија (види ја дефиницијата подолу) Ако се дозволат комплексните броеви како решенија, тогаш „секоја“ полиномна равенка од ненулти степен $f(x)=0$ би имала решение.

Имагинараната единица понекогаш се нарекува и „квадратен корен од минус еден“, но треба да се имаат предвид тешкотиите кои може да ги предизвика наивното користење на оваа идеја.

Дефиниција

По дефиниција, имагинарната единица $i$ е едно од решенијата (другото решение е $-i$) на квадратна равенка

$x^{2}+1=0\$

или, еквивалентно

$x^{2}=-1.\$

Пошто нема реални броеви со кои се добива негативен број кога се квадрираат, се замислува имагинарно таков број и му се доделува симбол i. Важно е да се сфати дека i е валидна математичка конструкција, исто како и реалните броеви, иако тоа не е веднаш интуитивно јасно и иако самото име не го сугерира тоа.

Операциите над реалните броеви може да се прошират и на имагинарните и комплексните броеви сметајќи го i како непозната во работата со изразот, а потоа користејќи ја дефиницијата да се замени секое појавување на i ² со −1. Исто така и степените на $i$ поголеми од два се заменуваат со -$i$, 1, $i$, или -1:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i.\,$

i и −i

Бидејќи равенката која ја дефинира имагинарата единица x² + 1 = 0 е равенка од втор степен без реални решенија, таа мора да има две решенија кои се исправни и кои се со спротивни знаци и кои се реципрочни. Попрецизно, кога сме фиксирале едно решение на равенката $i$, вредноста −$i$ (која не еднаква на $i$) исто така е решение. Бидејќи оваа равенка е единствена дефиниција на бројот $i$, делува дека оваа дефиниција не е добро дефинира бидејќи и $i$ и −$i$ се добри кандидати за вредност на имагинарната единици бидејќи меѓу нив нема квалитативни разлики (што не може да се каже за -1 и +1). Сепак, доколку усвоиме едно од овие решенија за позитивно $i$, нема да има вакви проблеми. Дури и кога во сите математички книги би се заменило секое појавување на +$i$ со −$i$ (а со тоа и секое појавување на −$i$ со −(−$i$) = +$i$), сите теореми и понатаму би важеле. Значи, разликата меѓу двата корена $x$ на равенката $x^{2}+1=0$, од кои еден е „позитивен“, а другиот „негативен“ е чисто нотационо наследство. Ниеден од нив не е фундаментално поважен од другиот.

Сличен проблем се јавува и кога комплексните броеви ги претставуваме како 2 х 2 реална матрица, бидејќи тогаш и

$X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}$

као и

$X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}$

Решенија на матричната равенка

$X^{2}=-I.\$

Во овој случај, несложувањето настанува од геометрискиот избор на која страна околу единичниот круг е „позитивна“ ротацијата. Попрецизно објаснување е дека аутоморфна група од специјална ортогонална група SO (2, R) има точно 2 елемента – идентитет и аутоморфизам кој ја дели насоката „во насока на вртење на стрелките на часовникот “ и насока „спротивна од насоката на вртење на стрелките на часовникот “. Да се погледаат ортогоналните групи.

Сите овие неслагања може да се решат со усвојување на поригорозна дефиниција на комплексните броеви преку полето на комплексни броеви и поексплицитно одбирање на едно решение на гореспоменатата равенка да биде имагинарна единица. Пример е уредениот пар (0, 1), во вообичаената претстава на комплексните броеви како дводимензионален вектор.

Правилна употреба

Имагинарната единица понекогаш се пишува како ${\sqrt {-1}}$ во понапредни математички контексти. Сепак, доста внимание треба да се посвети кога се работи со формули кои вклучуваат и N-ти корени. Ваквата нотација е резервирана или за главната функција квадратен корен, која е дефинирана само за реалните броеви $x$ ≥ 0, или за генерален квадратен корен над комплексни броеви. Ако се направи обид за примена на правилата кои важат за квадратен корен над реалните броеви за да се манипулира со формулите во кои се работи со квадратни корени над комплексни броеви, ќе се добијат погрешни резултати:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$    (нетачно).

Ако се повтори оваа пресметка, но ако се води сметка дека коренот може да биде позитивен и негативен, се добива двосмислен резултат:

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$   (двосмислено).

Правилото во пресметката

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$

важи само за реални, ненегативни вредности $a$ и $b$.

За подетална дискусија на овој феномен, погледајте квадратен корен.

За да се избегнат вакви грешки кога се работи со комплексни броеви, правило е никогаш да не се користи негативен број под коренот. На пример, наместо да се пишува изразот ${\sqrt {-7}}$, може наместо него да се напише $i{\sqrt {7}}$. Ова е употреба за која имагинарната единица и е смислена.

Квадратен корен на имагинарната единица

При првата средба со имагинарната единица, се случува да се помисли дека уште едно множество имагинарни броеви мора да биде измислен за да се пресмета квадратен корен од i. Сепак ова не е потребно заради тоа што тој може да се изрази како кој било од следните два комплексни броја.

$\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Лесно се покажува дека ова се корени на имагинарната единица, квадрирањето на десната страна дава:

$\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	$=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	$={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\$
	$={\frac {1}{2}}(2i)\$
	$=i.\$

Реципрочна вредност на бројот i

Реципрочната вредност на имагинарната единица лесно се наоѓа:

${\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i$.

Степени на бројот i

Вредностите на степените на бројот $i$ циклично се повторуваат:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$\ldots$

Ова може да се изрази преку следната формула, каде n е кој било цел број:

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

Ова води до заклучок дека:

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$

каде mod 4 претставува модул по основа 4.

Ојлерова формула

Ојлеровата формула гласи

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$ ,

каде x е реален број. Ова формула може аналитички да се прошири за комплексни вредности на бројот x.

Заменувајќи $x=\pi$ се добива

$e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,$

и се доаѓа до елегантен Ојлеров идентитет:

$e^{i\pi }+1=0.\,$

Оваа исклучително едноставна равенка ги спојува 5 најзначајнији математички величина (0, 1, π, e, и -i) со основните операции на собирање, множење и степенување.

Пример

Со замена $x=\pi /2-2N\pi ,$ каде N произволен цел број дава

$e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,$

Или, со дигање на двете страни на степен $i$,

$e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$

или

$e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,$,

што покажува дека $i^{i}\,$ има бесконечно многу елементи со облик

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,$

каде N е кој било цел број. Оваа вредност, иако реална, не е единствено одредена. Причина е што функцијата на комплексен логаритам е функција со повеќе решенија.

Земајќи N = 0 ни дава главна вредност

$i^{i}=e^{-\pi /2}=,207879576....\,$

Операции со бројот i

Многу математички операции може да се изведат со реални броеви исто така може да се изведат и со $i$, како степенување, коренување, логаритмирање и тригонометриски функции.

Бројот x дигнат на степен $ni$ е:

$\!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n})).$

$ni$-ти корен броја x је:

$\!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).$

Логаритам за имагинарна основа за бројот x е:

$\log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.$

Како и кај секој логаритам, и логаритам за основа i не е секаде дефиниран.

Косинус на бројот $i$ е реален број:

$\cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1,54308064.$

А синус на бројот $i$ е имагинарен:

$\sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1,17520119\,i.$

Алтернативни обележувања

• Во електротехниката и сродните науки, имагинарната единица често се пишува како $j\,$, за да се избегне забуна со електричната струја како функција од времето, означена со $i(t)\,$ или само $i.\,$   Во програмскиот јазик Пајтон имагинарната единица исто така се означува со j, додека во Матлаб двете ознаки (i и j) се користат да ја означат имагинарната единица.
• Посебно внимание мора да им се посвети на некои книги кои го дефинираат j = −i, главно за некои видови патувачки бранови.
• Во некои текстови се користи јота (ι) за означување на имагинарната единица за да се избегне конфузија. На пример бикватернион.

Дополнителна литература

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.