Елипса

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостаток) – во математиката е крива затворена линија во рамнина, која може да се дефинира како геометриско место на точки чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат фокуси на елипсата, а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Елипсата има два пречници (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат оски на елипсата. Оските на елипсата се две прави кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е нормална на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од орбитални параметри кои ја опишуваат орбитата на некое небесно тело.

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува круг.

Елипсата е вид конусен пресек. Ако конус е пресечен со рамнина која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

Параметарска равенка на елипса[уреди | уреди извор]

Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на координатниот систем Oxy и нејзината главна оска е по оската x, е определена со канонската равенка:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Следниот графикон ја демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (x = 0, y = b).

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:

x=a\,\cos t

y=b\,\sin t

0\leq t<2\pi

При што се користат тригонометриските функции синус и косинус.

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската x, истата може да биде претставена со равенката

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

Ексцентрицитет[уреди | уреди извор]

Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена ексцентрицитет на елипсата, која се означува со e. Ексцентрицитетот е поврзан со a и b преку равенството

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

каде $c$ (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.

e={\frac {c}{a}}

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на a со b и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2ae.

Површина[уреди | уреди извор]

Површината на елипсата е:

P=ab\pi

каде a и b се полупречници на елипсата, а пи = 3,14159... математичка константа. До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

Доказ. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е

P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]

=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt

=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t

=4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .

Со што доказот е завршен.

Обем[уреди | уреди извор]

Обемот на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:

O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,

Што е исто што и:

O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }

Добра апроксимација на оваа вредноста направил Рамануџан:

O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,

Која може да се запише и како:

O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:

O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,

Својства како рефлектор[уреди | уреди извор]

Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

Елипсата во физиката[уреди | уреди извор]

Јохан Кеплер открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу Сонцето, се со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна Исак Њутн објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот универзален закон за привлекување.

Елипсоид[уреди | уреди извор]

Во тридимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика елипсоид. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на топката е благо сплескано.