Логика на непрецизноста

Фази логика (од англ. fuzzy logic = „неодредена“ или „нејасна“ логика) е облик на повеќевредносна логика изведена од теоријата на неодредените множества која се занимава со расудување кое не е прецизно, туку приближно. За разлика од бинарните (двовредносни) множества кои имаат бинарна логика, позната и како реска логика, променливите во фази логиката може да имаат вредност на припадност не само од 0 или 1. Кај фази множествата припадниците може да имаат било која вредност од 0 до 1, па така и во фази логиката степенот на вистинитост на еден исказ може да изнесува било која вредност помеѓу 0 и 1, и како таков не е ограничен на две вистинитосни вредности {точно (1), неточно (0)} како кај класичната исказна логика. А кога се користат лингвистички променливи, овие степени може да се раководат според конкретни функции.

Поимот „фази логика“ почнал да се употребува како резултат на развојот на теоријата на фази множествата на Љутфи Аскер Заде.

Во 1965, Љутфи Аскер Заде ја предложил теоријата за фази множества, а потоа создал и фази логика заснована на фази множества. Фази логиката наоѓа примена на најразлични полиња, од теоријата на раководењето до вештачка интелигенција, но сепак неја ја одбегнуваат највеќето статистичари, кои претпочитаат да работат со Бејсова логика и некои раководни инженери, кои претпочитаат класична двовредносна логика.

Пред Задевата теорија, поимот „фази“ се среќава во труд на Р.Х. Вилкинсон од 1963 г. и овој труд е претходник на теоријата на фази множествата. Вилкинсон бил првиот кој ја редефинирал и генерализирал дотогашната повеќевредносна логика изразена преку теоријата на множествата. Главната цел на овој труд, по предлозите во неговата магистерската дисертација по електроинженерство во 1961, е да се покаже симулација на било која математичка функција со електронски кола. Тој го прикажал напишаното со тоа што направил разни линеарни волтажни рампи кои потоа се избирале на логички блок користејќи диоди и резисторски кола каде биле применети максималните и минималните правила на фази логиката: операциите ВКЛУЧИТЕЛНО ИЛИ и И. Оваа логика тој ја нарекол „аналогна логика“. Некои сметаат дека идејата за фази логиката е всушност множествен математички еквивалент на оваа „аналогна логика“ на Вилкинсон (без употреба на електрички кола), но тој никогаш не добил признание за неговата работа.

Степени на вистинитост

Степените на вистинитост, но и веројатностите изнесуваат некаде помеѓу 0 и 1 и затоа од прв поглед може да изгледаат слично. Меѓутоа тие се концептуално различни; вистинитоста е припадност во нејасно дефинирани множества, а не „веројатноста“ за некој анстан или услов како кај теоријата на веројатноста. На пример, да земеме дека чаша од 100 ml содржи 30 ml вода. Потоа да земеме два концепта: Празно и Полно. Нивното значење може да се претстави со по едно фази множество. Потоа можеме да ја дефинираме чашата како 0.7 празна и 0.3 полна. Треба да се има на ум дека концептот на празнотија би бил субјективен и затоа би зависело од посматрачот или изработувачот. Друг изработувач може подеднакво добро да изработи функција за припадност во множеството каде чашата ќе се смета за полна за сите вредности над 50 ml. Од суштинско значење е да се сфати дека фази логиката користи степени на вистинитост како математички модел на феноменот на нејасност, додека веројатноста е математички модел на случајноста. При веројатносни околности, прво се дефинира скаларната променлива за полноста на чашата, а како второ, условни дистрибуции кои ја даваат веројатноста дека некој ќе ја нарече чашата полна при дадено ниво на полност. Меѓутоа овој модел нема смисла без да го прифатиме случувањето на еден настан, на пр. Дека за пет минути, чашата ќе биде полупразна. Забележете дека условувањето мое да се постигне со тоа што некој одреден посматрач случајно избира назив за чашата, дистрибувција низ детерминистички посматрачи, или двете. Следствено на ова, веројатноста нема ништо заедничко со неодреденоста (т.е. „фази“-ството), туку тие едноставно се различни концепти кои навидум изгледаат слични бидејќи користат ист интервал од реални броеви [0, 1]. Но сепак можеме да видиме од каде произлегува забуната - теоремите како Де Моргановата наоѓаат двојна применливост и бидејќи својствата на случајните променливи се аналогни на својствата на бинарните логички состојби.

Применување на вистинитостни вредности

Во една основна примена може да се карактеризираат подопсези на една постојана променлива. На пример, едно мерење на температурата на anti-lock brakes (АБС) кочнци може да има неколку засебни функции на припадност кои ги определуваат конкретните температурни опсези потербни за правилна контрола на кочниците. Секоја функција ја мапира истата температурна вредност каде и назначува вистинитосна вредност во опсегот од 0 до 1. Овие вистинитосни вредности потоа се користат за да се одреди како треба да се котролираат кочниците.

Фази логичка температура

На сликава, значењето на изразите „студено“, „топло“ и „врело“ се претставени со функции кои мапираат температурна скала. Една точка на та скала има три „вистинитосни вредности“ — една за секоја функција. Вертикалната линија на сликата претставува дадена температура која ја мерат трите стрелки (вистинитосни вредности). Бидејќи црвената стрелка покажува нула, температурата може да се протолкува како „не врело“. Портокаловата стрелка (која покажува 0.2) може да ја опише како „малку топло“ а сината стрелка (која покажува 0.8) „прилично студено“.

Лингвистички променливи

Додека во математиката променливите имаат бројчени вредности, на местата кајшто се применува фази логика често се користат „лингвистички променливи“ за ода се овозможи изразување на правила и факти.

Лингвистичката променлива како „возраст“ може да има вредност како „млад“ или нејзиниот антоним „стар“. Меѓутоа големата полезност и употребливост на лингвистичките променлици се состои во тоа што тие може да се прилагодуваат по пат на лингвистички огради применети врз примарни поими. Лингвистичките огради може да се поистоветат (асоцираат) со извесни функции. На пример, Љ. А. Заде предложил да се земе квадрат од функцијата на функцијата на припадност. Меѓутоа овој модел не работи добро.

Пример за фази расудување

Теоријата на фази множествата определува фази оператори на основа на фази множества. Проблемот со нивната примена е тоа што соодветниот фази оператор може да биде непознат. Од оваа причина фази логиката користи АКО-ТОГАШ правила, или пак еквивалентни конструкции како фази асоцијативни матрици.

Правилата се изразуваат во овој облик:
АКО „променлива“ Е „својство“ ТОГАШ „дејство“

На пример, еден најпрост регулатор на температура кој користи вентилатор може да изгледа вака:

АКО температурата Е многу ниска ТОГАШ запри го вентилаторот
АКО температурата Е ниска ТОГАШ забави го вентилаторот
АКО температурата Е нормална ТОГАШ одржувај го нивото
АКО температурата Е висока ТОГАШ забрзај го вентилаторот

Обратете внимание дека тука нема „ИНАКУ“. Се земаат во предвид сите правила, бидејќи температурата може истовремено да биде „ниска“ и „нормална“ до различен степен.

Операторите И, ИЛИ и НЕ од Буловата логика постојат и во фази логиката, обично дефинирани како минимум, максимум, и комплемент; кога се вака дефинирани, тие се нарекуваат „Задеви оператори“, бидејќи како такви прв ги дефинирал Заде. Значи за фази проенливите x и y:

НЕ x = (1 - вистинитост(x))
x И y = минимум(вистинитост(x), вистинитост(y))
x ИЛИ y = максимум(вистинитост(x), вистинитост(y))

Може да се применат и други оператори од полингвистички карактер, наречени „огради“. Овие обично се прилози како „многу“ или „донекаде“, кои го менуваат значењето на множеството со помош на математичка формула.

Во практична примена, програмскиот јазик Пролог е добро приспосебен за примена на фази логика и воспоставува база на „правила“ на кои тој се повикува за да изведува логика . Ваквото програмирање се нарекува логичко програмирање.

Штом ќе се дефинираат фази релациите, потоа може да се развијат фази релационални бази на податоци. Првата фази релационална база на податоци, наречена FRDB е обмислена во дисертацијата на Марија Земанкова. Подоцна се јавиле и други модели како Баклс-Петриевиот модел, Прад-Тестемаловиот модел, Умано-Фукамиевиот модел или GEFRED моделот на Џ.М. Медина, М.А. Вила и други. Во контекст на фази бази на податоци, дефинирани се некои фази повикувачки јазици, од кои поистакнати се SQLf од П. Боск и други. и FSQL од Џ. Галиндо и други. Овие јазици дефинираат исвесни структури за да можат во нив да вметнат фази аспекти од SQL исказите како фази услови, фази компаратори, фази константи, фази ограничувања, фази прагови, лингвистички ознаки и така натаму.

Други примери

• Ако маж е висок 1.8 метри, сметај го за висок:

АКО маж Е точно И висината >= 1.8 ТОГАШ е_висок Е вистина; е_низок Е неточно

• Фази правилата не прават реска разлика помеѓу висок и низок:

АКО висина <= среден маж ТОГАШ е_низок Е донекаде се во согласност
АКО висина >= среден маж ТОГАШ е_висок Е донекаде се во согласност

Во фази случај, не постојат висини од типот на 1.83 метри, туку има фази вредности, како следниве задавања:

џуџест маж = [0, 1.3] m
низок маж = [1.3, 1.5] m
среден маж = [1.5, 1.8] m
висок маж = [1.8, 2.0] m
џиновски маж > 2.0 m

И последователот може да има зададено повеќе од две вредности:

не се согласувај = 0
согласи се малку = 1
согласи се донекаде = 2
согласи се прилично = 3
согласи се наполно = 4

Во бинарен („резок“) случај, човек од 1.79 метри се смета за „средно“ висок, додека друг кој е висок било 1.8 метри или 2.25 метри се смета за „висок“.

Рескиот пример намерно се разликува од фази примерот. На претходникот не му се зададени фази вредности:

АКО маж >= согласи се донекаде И ...

бидејќи полот се смета за бинарна информација.

Математичка фази логика

Кај Математичката логика постојат неколку формални системи на „фази логика“; од кои највеќето припаѓаат на таканаречените t-norm fuzzy logics.

Исказна фази логика

Најважните исказни фази логики се:

• Моноидната т-нормативна исказна фази логика МТЛ претставува аксиоматизација на логиката каде конјункцијата се дефинира по пат на лев постојана т-норма, а импликацијата се дефинира како резидуум од т-нормата. Нејзините модели соодветствуваат на МТЛ-алгебрите кои се предлинеарни комутативни ограничени интегрални решетки.
• Основна исказна фази логика ОЛ претставува преширување на МТЛ логиката каде конјункцијата се дефинира по пат на постојана т-норма, а импликацијата исто така се дефинира како резидуум од т-нормата. Нејзините модели соодветствуваат на БЛ-алгебрите.
• Лукасјевичевата фази логика претставува проширување на основната фази логика ОЛ каде стандардната конјункција е Лукасјевичевата т-норма. Таа ги содржи аксиомите на основната фази логика плус аксиома за двојна негација, а нејзините модели соодветствуваат на МВ-алгебрите.
• Геделовата фази логика претставува проширување на основната фази логика ОЛ каде конјункцијата е Геделова т-норма. Таа ги содржи аксиомите на ОЛ плус аксиома за идемпотенција на конјункцијата, а нејзините модели се наречени Г-алгебри.
• Производна фази логика претставува проширување на основната фази логика ОЛ каде конјункцијата е производна т-норма. Таа ги содржи аксиомите на ОЛ плус уште една аксиома за поништливост на конјункцијата, а нејзините модели се наречени производни алгебри.
• Фази логика со евалуирана синтакса (некаде наречена и Павелкина логика), означена со ЕВЛ, претставува понатамошна генерализација на математичката фази лофика. Додека горенаведените типови на фази логика имаат класична синтакса и повеќевредносна сематика, кај ЕВЛ се евалуира и синтаксата. Ова значи дека секоја формула има евалуација. Аксиоматизацијата на EVŁ произлегува од Лукасјевичевата фази логика. Една генерализација на класичната Геделова теорема за потполност е докажлива во ЕВЛ.

Предикатна фази логика

Овие ја прошируваат фази логиката со додавање на универзални и егзистенцијални квантификатори на начин сличен на начинот на кој се создава предикатна логика од исказната логика. Семантиката на универзалниот (односно егзистенцијалниот) кватификатор во т-нормативните фази логики е инфимум (односно супремум) на степените на вистинитост на инстанците на кватификуваната потформула.

Виши фази логики

Овие логики, наречени теории на фази типови, ја прошируваат предикатната фази логика за со нив да можат да се квантификуваат предикати и објекти од виш ред. Теоријата на фази типовите претставува генерализација на класичната теорија на прости типови формулирана од Б. Расел и математички разработена од А. Черч и Л. Хенкин.

Проблеми со определивоста кај фази логиката

Поимите „определиво подмножество“ и „рекурзивно пребројливо подмножесво“ се основни во класичната математика и класичната логика. Потоа се јавува праѓањето за соодветно проширување на ваквите концепти за примена кај фази множествата. Прв предлог во таа насока дал Е.С. Сантос со идејата за „фази Тјурингов автомат“, „Марков нормален фази алгоритам“ и „фази програм“ (видете Santos 1970). Како одговор ан тоа Л. Бјанчино и Г. Герла се изјасниле дека ваквата дефиниција е несоодветна и наместо тоа ја предложиле следнава. Ü означува множество рационални броеви во [0,1]. Фази подмножеството „s“ : S $\rightarrow$[0,1] на множеството „S“ е „рекурзивно пребројливо“ ако постои рекурзивната мапа h : S×N $\rightarrow$Ü, при што за секое x во S, функцијата h (x,n) is се зголемува во оснос на n и s(x) = lim h(x,n). Велиме дека s е „определиво“ ако и s и неговиот комплемент –s се рекурзивно пребројливи. Герла во 2006 предлага и проширување на ваквата теорија во општ случај на L-подможества. Преложените дефиниции се добро поврзани со фазилогиката. Следнава теорема навистина е точна (секако доколку дедуктивната машинерија на фази логиката задоволува извесни очигледни својства на ефективност).

Теорема. Секоја аксиомативна фази теорија е рекурзивно пребројлива. Поконкретно, фази множеството од логички точни формули е рекурзивно пребројливо и покрај фактот што реското множество валидни формули начелно не е рекурзивно пребројливо. Покрај ова, секоја аксиомативна и целосна теорија е определива.

Дали да се дава поддршка на т.н. „Черчова теза“ за фази логиката, која тврди дека преложената идеја за рекурзивната пребројливост за фази подмножествата, е соодветна претставува отворено прашање. За таа цел потребно е понатамошно истражување во идеите за фази граматика и фази Тјурингов автомат. Друго отворено прашање е да се започне со оваа идеја за надоградување на Геделовите теореми за целите на фази логиката.

Полиња на примена

• Клима-уреди
• Автомобилски и други потсистеми за возила, како автоматски пренос, АБС and cruise control (на пр. едношинската железница во Токио)
• Камери
• Дигитална обработка на слики, како edge detection
• Садомијачки
• Лифтови
• Фази логиката наоѓа примена и кај некои микроконтролори и микропроцесори, како на пример Freescale 68HC12.
• Хидрометеорски класификациони алгоритми за полариметрички метеоролошки радар
• Јазични филтри на форуми и канали за филтрирање на непристоен текст
• Програмот Massive користен за филмовите „Господарот на прстените“, кој овозможил огромните војски да се движат на случаен, но сепак складен начин
• Проценка на рудни наоѓалишта
• Распознавање на шари кај далечинските сензори
• Готвачи на ориз
• Вештачка интелигенција во видеоигри
• Перални машини и друга бела техника

Видете исто така

• Вештачка интелигенција
• Вештачка невронска мрежа
• Комплексност
• Контекстуализам
• Раководен систем
• Дефазификација
• Динамична логика
• Фази асоцијативна матрица
• Фази концепт
• Фази раководен систем
• Фази раководен јазик
• Лажна дилема
• Фази електроника
• Фази математика
• Фази множество
• Фази подалгебра
• Машинско учење
• Повеќевредносна логика
• Парадокс на купот
• Perspectivism
• Pattern recognition
• Петр Хајек
• Приближно множество
• Нејасност

Библиографија

• Von Altrock, Constantin (1995). Fuzzy logic and NeuroFuzzy applications explained. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-368465-2.
• Biacino, L. (2002). „Fuzzy logic, continuity and effectiveness“. Archive for Mathematical Logic. 41 (7): 643–667. doi:10.1007/s001530100128. ISSN 0933-5846.
• Cox, Earl (1994). The fuzzy systems handbook: a practitioner's guide to building, using, maintaining fuzzy systems. Boston: AP Professional. ISBN 0-12-194270-8.
• Gerla, Giangiacomo (2006). „Effectiveness and Multivalued Logics“. Journal of Symbolic Logic. 71 (1): 137–162. doi:10.2178/jsl/1140641166. ISSN 0022-4812.
• Hájek, Petr (1998). Metamathematics of fuzzy logic. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0792352386.
• Hájek, Petr (1995). „Fuzzy logic and arithmetical hierarchy“. Fuzzy Sets and Systems. 3 (8): 359–363. doi:10.1016/0165-0114(94)00299-M. ISSN 0165-0114.
• Halpern, Joseph Y. (2003). Reasoning about uncertainty. Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-08320-5.
• Höppner, Frank (1999). Fuzzy cluster analysis: methods for classification, data analysis and image recognition. New York: John Wiley. ISBN 0-471-98864-2.
• Ibrahim, Ahmad M. (1997). Introduction to Applied Fuzzy Electronics. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. ISBN 0-13-206400-6.
• Klir, George J. (1988). Fuzzy sets, uncertainty, and information. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. ISBN 0-13-345984-5.
• Klir, George J. (1997). Fuzzy set theory: foundations and applications. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0133410587.
• Klir, George J. (1995). Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-101171-5.
• Kosko, Bart (1993). Fuzzy thinking: the new science of fuzzy logic. New York: Hyperion. ISBN 0-7868-8021-X.
• Kosko, Bart (1993). „Fuzzy Logic“. Scientific American. 269 (1): 76–81.
• Montagna, F. (2001). „Three complexity problems in quantified fuzzy logic“. Studia Logica. 68 (1): 143–152. doi:10.1023/A:1011958407631. ISSN 0039-3215.
• Mundici, Daniele (1999). Algebraic foundations of many-valued reasoning. Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-6009-5.
• Novák, Vilém (1989). Fuzzy Sets and Their Applications. Bristol: Adam Hilger. ISBN 0-85274-583-4.
• Novák, Vilém (2005). „On fuzzy type theory“. Fuzzy Sets and Systems. 149: 235–273. doi:10.1016/j.fss.2004.03.027.
• Novák, Vilém (1999). Mathematical principles of fuzzy logic. Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-8595-0.
• Passino, Kevin M. (1998). Fuzzy control. Boston: Addison-Wesley. ISBN 020118074X.
• Pu, Pao Ming; Liu, Ying Ming (1980), „Fuzzy topology. I. Neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence“, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 76 (2): 571–599, doi:10.1016/0022-247X(80)90048-7, ISSN 0022-247X
• Santos, Eugene S. (1970). „Fuzzy Algorithms“. Information and Control. 17 (4): 326–339.
• Scarpellini, Bruno (1962). „Die Nichaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz“. Journal of Symbolic Logic. 27 (2): 159–170. doi:10.2307/2964111. ISSN 0022-4812.
• Steeb, Willi-Hans (2008). The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic with C++, Java and SymbolicC++ Programs: 4edition. World Scientific. ISBN 981-281-852-9.
• Wiedermann, J. (2004). „Characterizing the super-Turing computing power and efficiency of classical fuzzy Turing machines“. Theor. Comput. Sci. 317: 61–69. doi:10.1016/j.tcs.2003.12.004.
• Yager, Ronald R. (1994). Essentials of fuzzy modeling and control. New York: Wiley. ISBN 0-471-01761-2.
• Van Pelt, Miles (2008). Fuzzy Logic Applied to Daily Life. Seattle, WA: No No No No Press. ISBN 0-252-16341-9.
• Wilkinson, R.H. (1963). „A method of generating functions of several variables using analog diode logic“. IEEE Transactions on Electronic Computers. 12: 112–129. doi:10.1109/PGEC.1963.263419.
• Zadeh, L.A. (1968). „Fuzzy algorithms“. Information and Control. 12 (2): 94–102. doi:10.1016/S0019-9958(68)90211-8. ISSN 0019-9958.
• Zadeh, L.A. (1965). „Fuzzy sets“. Information and Control. 8 (3): 338-­353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. ISSN 0019-9958.
• Zemankova-Leech, M. (1983). "Fuzzy Relational Data Bases". Ph. D. Dissertation. Florida State University.
• Zimmermann, H. (2001). Fuzzy set theory and its applications. Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-7435-5.

Надворешни врски

• Фази логика – статија на Стенфордската енциклопедија на философијата (англиски)
• Институт за истражување и примени на фази моделирањето (англиски)
• Европски центар за мека информатика (англиски)