Мера (математика)

Мера, во математиката, концепт при кој на дадено множество од некој простор му се придружува ненегативен реален број.

Грубо и лаички кажано, мерата означува колку од просторот зафаќа множеството. Таа се воведува од практични причини во реалниот Евклидов простор. Мерата во еднодимензионалниот Евклидов простор е всушност должина, во дводимензионалниот е плоштина, додека во тридимензионалниот - волумен. За сите димензии над третата се користи само терминот мера.

Конструкција на мерата

Едни од наједноставните подмножества од множеството реални броеви се интервалите. Особено важни се отворените интервали од облик

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}$

бидејќи секое непразно и отворено подмножество од реалните броеви може да се претстави како преброива унија од отворени интервали. Логички, доволно е да се воведе мера најпрво за отворени интервали, а потоа таа да се прошири на произволни подмножества од реалните броеви. За отворените интервали дефинираме должина $\ell$ со:

$\ell (a,b)=b-a$

Нека $E\subseteq \mathbb {R}$ е произволно подмножество од реалните броеви, а $\{I_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ е произволна фалимија отворени интервали таква што:

$E\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}={\mathcal {U}}$

Дефинираме надворешна мера на множеството E - m*(E) со:

$m^{*}(E)=\inf _{E\subseteq {\mathcal {U}}}\left\{\sum _{n=1}^{\infty }\ell (I_{n})\right\}$

Нека $E\subseteq \mathbb {R}$ е произволно подмножество од реалните броеви. По дефиниција, за $E$ велиме дека е мерливо множество ако:

$\left(\forall A\subseteq \mathbb {R} \right),\,\,\ m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cup E^{c})=m^{*}(A)$

Ако $E$ е мерливо множество, тогаш надворешната мера на $E$ се вика Лебегова мера на $E$, и пишуваме:

$m(E)=m^{*}(E)$

Својства на мерата

Најважните својства на мерата се:

• Преброива субадитивност: за произволна фамилија множества $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ важи:

$m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})$

специјално, ако фамилијата е дисјунктна, т.е. ако $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset ,\;i\neq j$, тогаш важи:

$m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(E_{N})$

• Ако за фамилијата множества $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ со конечна мера важи: $E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \dots \supseteq E_{n}\supseteq \dots$, тогаш:

$m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }m(E_{n})$

Поврзано

• Количество
• Должина
• Плоштина
• Волумен