Непрекинатост на функција

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Во математиката, концепт, или поточно, својство кое ги опишува функциите и нивното однесување во точка или околина. Тесно поврзан со поимот на непрекинатост е поимот гранична вредност на функција (лимес).

Структурно, концептот на непрекинатост на функција претставува своевиден вовед во ε-δ (ипсилон-делта) излагањето на математичката анализа, практика која понатаму се обопштува на широка палета поими.

Изучувањето на непрекинатоста и непрекинатите пресликувања е од клучно значење за природните и техиничките науки зашто процесите во природата се одвиваат непрекнато.

Дефиниција

Првата строга и прецизна дефиниција на поимот непрекинатост на функција дал францускиот математичар Огистен Луј Коши. Неговата дефиниција е првата која ја дефинира непрекинатоста независно од други математички поими:

Нека е даден интервал $\ [a,b]$ и функција $\ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ определена (дефинирана) на него. Да избереме точка $\ u\in [a,b]$. Тогаш:

Фунцијата $\ f$ е непрекината во точката $\ u\in [a,b]$ ако $\forall \epsilon >0,\,\,\$ $\exists \delta >0$ така што за секој $\ x\in [a,b]$ за кој важи:

$\left|x-u\right|<\delta$ важи и $\left|f(x)-f(u)\right|<\epsilon$

Со строга математичка нотација:

$\ f$ е непрекината во $\ u\in [a,b]$ ако $\left(\forall \epsilon >0\right),\left(\exists \delta >0\right)$ така што
$\ \left|x-u\right|\Rightarrow \left|f(x)-f(u)\right|<\epsilon$

Визуелизација на концептот на непрекинатост

Практично, тоа е следново: имаме интервал - $\ [a,b]$, функција дефинирана на тој интервал - $\ f$ и произволна точка од тој интервал - $\ u\in [a,b]$. Фунцијата $\ f$ ќе биде непрекината во избраната точка ако: за секоја позитивна вредност - $\epsilon >0$, постои друга позитивна вредност $\delta >0,\delta =\delta (\epsilon )$ - зависна од првата таква што сликата на интервалот $\ (u-\delta ,u+\delta )$ е подмножество од интервалот $\ (f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon )$, т.е.

$f\left((u-\delta ,u+\delta )\right)\subseteq \left(f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon \right)$

Ако функција не е непрекината во точка, тогаш велиме дека функцијата има прекин во таа точка.

Алтернативна дефиниција на непрекинатоста, со помош на лимеси, дал Хајне: функцијата $\ f$ е непрекината во точката $\ x_{0}$ ако за секоја низа $(x_{n})$ од $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ следи:

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})$

Оваа дефиниција е далеку попрактична од Кошиевата, но сепак зависи од дефиницијата и својствата на друг поим: низа реални броеви.

Примери

Ќе се послужиме со дефиницијата на непрекинатост за да испитаме непрекинатост на функција во точка.

• Пример 1: да се испита непрекинатоста на функцијата $\ f(x)={\sqrt {x}}$
  

За функцијата да е непрекината во точката $\ u$ мора за секој $\epsilon >0$ да постои вредност $\delta >0$, која зависи од изборот на $\epsilon$ и точката $\ u$, таква што за секој $\ x\in (u-\delta ,u+\delta )\Leftrightarrow |x-u|<\delta$ истовремено важи $\ f(x)\in (f(u)-\epsilon ,f(u)+\epsilon )\Leftrightarrow |f(x)-f(u)|<\epsilon$.

Нека $\epsilon >0$ го избереме произволно и нека за некое $\delta >0$ (чија зависност од $\epsilon$ и $\ u$ треба да ја определиме!!!) е исполнето:

$\ |x-u|<\delta$

Тогаш следи:

$\ |f(x)-f(u)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {u}}|=\left|{\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {u}}}{1}}\cdot {\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}}\right|=$

$\left|{\frac {x-u}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}}}\right|={\frac {|x-u|}{|{\sqrt {x}}+{\sqrt {u}}|}}\leq {\frac {|x-u|}{\sqrt {u}}}<{\frac {\delta }{\sqrt {u}}}$

Ако сега, бидејќи $\epsilon$ е произволен, вредноста на $\delta$ ја определиме како: $\delta =\epsilon {\sqrt {u}}$ тогаш важи:

$\ |x-u|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(u)|<{\frac {\delta }{\sqrt {u}}}={\frac {\epsilon {\sqrt {u}}}{\sqrt {u}}}=\epsilon$

од каде следи дека функцијата $f(x)={\sqrt {x}}$ е непрекината во сите точки во кои е дефинирана, освен, можеби, во нулата.

• Пример 2: да се испита непрекинатост на функцијата на Дирихле која е зададена како:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\-1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

Ќе разгледаме два случаја. Од математичката логика го имаме следново:

За функција да не е непрекината во точка $\ u$ треба да постои $\epsilon >0$ таков што за секој $\delta >0$ за кој важи $\ |x-u|<\delta$, важи и $\ |D(x)-D(u)|\geq \epsilon$

Прв случај: нека $\ u\in \mathbb {Q}$, нека избереме $\epsilon =1$ и нека $\delta >0$ e произволно. Тогаш постои ирационална точка $x\in (u-\delta ,u+\delta )$ т.е. ирационален број $\ x$ за кој е исполнето $\ |x-u|<\delta$. Но тогаш следи:

$\ |D(x)-D(u)|=|1-(-1)|=2>\epsilon$

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) во сите рационални точки

Втор случај: постапката е слична како претходната: нека $\ u\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, нека избереме $\epsilon =1$ и нека $\delta >0$ e произволно. Тогаш постои рационална точка $x\in (u-\delta ,u+\delta )$ т.е. рационален број $\ x$ за кој е исполнето $\ |x-u|<\delta$. Но тогаш следи:

$\ |D(x)-D(u)|=|-1-1|=2>\epsilon$

што значи дека функцијата на Дирихле има прекин (т.е. не е непрекината) и во сите ирационални точки. Тогаш можеме да заклучиме дека функцијата на Дирихле има прекин во сите точки од својата дефинициона област.

Рамномерна непрекинатост

Во математичката анализа се јавува уште еден поим: рамномерна непрекинатост на функција. Рамномерната непрекинатост, за разлика од непрекинатоста, е поврзана за потесна класа функции: функцијата може да е непрекината, меѓутоа да не е рамномерно непрекината. Од друга страна, обратното е секогаш точно: ако функцијата е рамномерно непрекината тогаш таа секогаш е и непрекината.

Нека $\ f:[a,b]\to \mathbb {R}$ е реална функција определена на интервалот $\ [a,b]$. За функцијата $\ f$ се вели дека е рамномерно непрекината на интервалот $\ [a,b]$ ако: за секој $\epsilon >0$, постои $\delta >0$ така што за сите точки $x^{\prime },x^{\prime \prime }$ за кои важи $\ |x^{\prime }-x^{\prime \prime }|<\delta$ важи и $\ |f(x^{\prime })-f(x^{\prime \prime })|<\epsilon$.

Разликите меѓу непрекинатост и рамномерна непрекинатост се следниве:

• непрекинатоста се разгледува во точка, додека рамномерната непрекинатост на цел интервал;
• при разгледување на непрекинатост, изборот на величината $\delta$ зависи од точката во која се испитува непрекинатост и од произволниот $\epsilon$. При разгледување на рамномерна непрекинатост изборот на ова $\delta$ треба да не зависи од точките, туку (евентуално) само од $\epsilon$, односно да е фиксно за сите можни избори на точките $x^{\prime },x^{\prime \prime }$;

Врската меѓу непрекинатоста и рамномерната непрекинатост е следнава:

• Ако функција е рамномерно непрекината на интервал, тогаш таа е и непрекината во секоја точка од тој интервал. Обратното не мора да важи;
• Ако функција е непрекината на затворен и ограничен интервал, тогаш таа е и рамномерно непрекината на тој интервал.

Пример

• Да се испита рамномерната непрекинатост на функцијата $\ f(x)=x^{2}$ на симетричен интервал $(-M,M)$

Постапката е иста како при испитување непрекинатост: нека $\epsilon >0$ е произволен и нека $\delta >0$ величина чија зависност од $\epsilon$ треба да ја утврдиме. Нека за точките $\ x,y\in (-M,M)$ важи: $\ |x-y|<\delta$. Тогаш:

$\ |f(x)-f(y)|=|x^{2}-y^{2}|=|(x-y)(x+y)|=|x-y||x+y|<\delta |M+M|=2M\delta$

Ако сега за $\delta$ избереме вредност: $\delta ={\frac {\epsilon }{2M}}$, тогаш важи: $\ |f(x)-f(y)|<\epsilon$

што значи дека функцијата $\ f(x)=x^{2}$ е рамномерно непрекината на интервалот $\ (-M,M)$.

Забелешка: величината $\delta$ зависи само од изборот на $\epsilon$ и (полу)должината на интервалот - $\ M$.

Својства на непрекинатите функции

• Непрекината функција на затворен интервал е рамномерно непрекината на тој интервал;
• Непрекината функција на затворен интервал е ограничена на тој интервал;
• Збир, разлика, производ, количник и состав (композиција) од непрекинати функции, доколку постојат, се исто така непрекинати функции;
• Слика на (затворен) интервал при непрекинато пресликување е исто така (затворен) интервал;
• Слика на затворена крива при непрекинато пресликување е затворена крива

Поврзано

• Гранична вредност на функција

Статијата „Непрекинатост на функција“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).