Херонова формула: Разлика помеѓу преработките
[проверена преработка] | [проверена преработка] |
с Плоштина означена со P |
поправка на правопис |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Податотека:Triangle with notations 2.svg|мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'' |
[[Податотека:Triangle with notations 2.svg|мини|200п|Триаголник со страни ''a'', ''b'' и ''c''.]] |
||
Во [[геометрија| |
Во [[геометрија|геометријата]], '''Хероновата формула''' служи за пресметување на [[плоштина]]та P на [[триаголник]] за кој се познати должините на трите страни ''a'', ''b'' и ''c'' и гласи <ref>[http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova Интерактивна страна за Херонова формула] {{mk}}</ref> |
||
<math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math> |
<math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}</math> |
||
Ред 7: | Ред 7: | ||
<math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).</math> |
<math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c).</math> |
||
Забелешка: [[Полупериметар]]от '''''s''''' на триаголникот е поголем од секоја од страните ''a'', ''b'' и ''c''. (Ова следува од [[неравенство на триаголник]].) Значи, сите 4 |
Забелешка: [[Полупериметар]]от '''''s''''' на триаголникот е поголем од секоја од страните ''a'', ''b'' и ''c''. (Ова следува од [[неравенство на триаголник]].) Значи, сите 4 членa во Хероновата формула се позитивни. |
||
Ред 14: | Ред 14: | ||
'''Пример:''' Нека ΔABC е триаголник со страни ''a''=3, ''b''=4 и ''c''=5. |
'''Пример:''' Нека ΔABC е триаголник со страни ''a''=3, ''b''=4 и ''c''=5. |
||
<div style="margin-left:15px; line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math> , <br />а плоштината е: <math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. <br />Ова е познат правоаголен триаголник, така |
<div style="margin-left:15px; line-height:35px"> Тогаш полупериметарот е: <math>s=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(3+4+5)=6</math> , <br />а плоштината е: <math>P = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}= \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)}=\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\sqrt{36}=6</math>. <br />Ова е познат правоаголен триаголник, така што страната ''b'' е и висината ''h'' во однос на основата ''a''. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи <math>P = \tfrac{1}{2} a h = \tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6</math>. </div> |
||
Хероновата формула може да се напише и во која било од следниве облици: |
|||
<div style="margin-left:15px;line-height:35px"> |
<div style="margin-left:15px;line-height:35px"> |
||
<math>P=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} </math> |
<math>P=\tfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,} </math> |
||
Ред 31: | Ред 31: | ||
== Историја == |
== Историја == |
||
Формулата се |
Формулата му се припишува на [[Херон Александриски|Херон]], а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (''Metrica''), која е напишана во 60 година н.е. <ref>{{cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html |title=Статија за Хероновата формула|publisher=WolframAlpha}} {{en}} Последен пристап 29. 4. 2013</ref><ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics | author=C.Clapham, J.Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009}} стр.365 {{en}}</ref> Постои индикација дека формулата ја знаел [[Архимед]], а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само ја забележал, а не да ја открил. |
||
Формула еквивалентна на |
Формула еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот: |
||
:<math>P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math> |
:<math>P=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math> |
||
била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет |
била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет книги за математичката вештина“ објавена во [[1247]] година. |
||
== Доказ == |
== Доказ == |
||
Оригиналниот доказ на Херон користел [[тетивен четириаголник|тетивни четириаголници]]. <ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt Дискусија |
Оригиналниот доказ на Херон користел [[тетивен четириаголник|тетивни четириаголници]]. <ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt Дискусија за доказот на Хероновата формула] {{en}} Последен пристап 06.08.2013 </ref>. |
||
Следи |
Следи модерен доказ на формулата кој користи [[алгебра]] и [[тригонометрија]], и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека ''a'', ''b'' и ''c'' се страните на еден триаголник, а <math> \alpha\,</math>, <math> \beta\,</math> и <math> \gamma\,</math> се соодветните [[агол|агли]] кои се наоѓаат наспроти соодветните страни. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната ''a'' за основа на триаголникот. Според [[Косинусна теорема|косинусната теорема]] е: |
||
:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>. |
:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>. |
||
Оттаму се добива алгебарската равенка: |
Оттаму се добива алгебарската равенка: |
||
:<math>\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>. |
:<math>\sin\gamma = \sqrt{1-\cos^2\gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>. |
||
Висината на триаголникот која |
Висината на триаголникот која одговара на основата ''a'' има должина <math>h_a=b\sin\gamma</math>, па следува |
||
:{| |
:{| |
||
Ред 78: | Ред 78: | ||
|} |
|} |
||
Во |
Во горните операции полиномите се разложуваат користејќи ги формулите за [[бином на квадрат]] и за [[разлика на квадрати]]. |
||
=== Доказ |
=== Доказ со користење на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] === |
||
[[Податотека:Triangle with notations 3.svg|мини|270п| |
[[Податотека:Triangle with notations 3.svg|мини|270п|Триаголник со висина ''h'' која на страната ''c'' прави отсечки со должини ''d'' и (''c''−''d'').]] |
||
Тука |
Тука страната ''c'' се зема како основа, па почнуваме со |
||
<div style="margin-left:15px;line-height:35px"> |
<div style="margin-left:15px;line-height:35px"> |
||
<math> P=\tfrac{1}{2} c h_c =\tfrac{1}{2} c h </math> односно <math>4P^2=c^2h^2</math>. |
<math> P=\tfrac{1}{2} c h_c =\tfrac{1}{2} c h </math> односно <math>4P^2=c^2h^2</math>. |
||
</div> |
</div> |
||
Од |
Од Питагоровата теорема следува: <math>h^2+d^2=b^2</math> и <math>h^2+(c-d)^2=a^2</math>. |
||
Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи: |
Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи: |
||
Ред 110: | Ред 110: | ||
<math>4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd</math> или <math>(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2=(cd)^2</math> |
<math>4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd</math> или <math>(s(s-a)-(s-b)(s-c))^2=(cd)^2</math> |
||
каде што двете применувања на |
каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка. |
||
</div> |
</div> |
||
== Нумеричка стабилност == |
== Нумеричка стабилност == |
||
Хероновата формула во зададениот облик е [[Нумеричка стабилност|нумерички нестабилна]] за триаголници со многу мали агли. |
|||
Стабилна алтернатива<ref>[http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf Предавање за грешки при пресметување плоштина на триаголници со еден многу |
Стабилна алтернатива<ref>[http://www.eecs.berkeley.edu/~wkahan/Triangle.pdf Предавање за грешки при пресметување плоштина на триаголници со еден многу остар агол], Последен пристап 06.08.2013</ref> при што се именуваат страните така што: |
||
''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c'' |
''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c'' |
||
па потоа се пресметува по формулата |
па потоа се пресметува по формулата |
||
Ред 124: | Ред 124: | ||
== Обопштување == |
== Обопштување == |
||
Хероновата формула е специјален случај [[Формула Брамагупте|формулата Брамагупте]] за плоштина на [[тетивен четириаголник|тетивни четириаголници]], а и двете формули се специјални случаи на [[Бретшнајдерова формула|Бретшнајдеровата формула]] за плоштина на [[четириаголник]]. Во двата случаи, Хероновата формула се добива ставајќи ја должината на едната страна од четириаголникот еднаква на нула. |
|||
Хероновата формула исто така е посебен случај на формула за плоштина на [[трапез]] во која се користат само страните на трапезот. Во истата се става должината на помалата паралелна страна еднаква на нула. |
|||
Изразување на |
Изразување на Хероновата формула со помош на [[Детерминанта|детерминанта]] |
||
:<math> P = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} |
:<math> P = \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} |
||
0 & a^2 & b^2 & 1 \\ |
0 & a^2 & b^2 & 1 \\ |
||
Ред 136: | Ред 136: | ||
1 & 1 & 1 & 0 |
1 & 1 & 1 & 0 |
||
\end{vmatrix} } </math> |
\end{vmatrix} } </math> |
||
со што се гледа и сличноста на |
со што се гледа и сличноста на Хероновата формула со формулата на [[Николо Тартаља]] за [[волумен|зафатнина]] на [[тетраедар]]. |
||
Друго обопштување на |
Друго обопштување на Хероновата формула до [[петаголник|петаголници]] и [[шестаголник|шестаголници]] впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс. <ref>D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.</ref> |
||
== |
== Наводи == |
||
{{наводи}} |
{{наводи}} |
||
== Поврзани теми == |
== Поврзани теми == |
||
* [[Периметар]] |
* [[Периметар]] |
||
* [[Плоштина]] |
|||
* [[Херонов триаголник]] |
* [[Херонов триаголник]] |
||
* [[Херон Александриски]] |
* [[Херон Александриски]] |
||
Ред 152: | Ред 153: | ||
== Надворешни линкови == |
== Надворешни линкови == |
||
* http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova |
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova Интерактивна страна за Херонова формула] {{mk}} |
||
* http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronovapr1 |
* [http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronovapr1 Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула] {{mk}} |
||
* [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Херонова формула] |
* [http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Херонова формула] {{en}} |
||
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml Доказ |
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема] {{en}} |
||
* [http://www.mathopenref.com/heronsformula.html Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула] |
* [http://www.mathopenref.com/heronsformula.html Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула] {{en}} |
||
* [http://www.mathpages.com/home/kmath196.htm Херонова формула и обопштување на Брамагупте] {{en}} |
* [http://www.mathpages.com/home/kmath196.htm Херонова формула и обопштување на Брамагупте] {{en}} |
||
{{Нормативна контрола}} |
|||
[[Категорија:Геометрија]] |
[[Категорија:Геометрија]] |
||
[[Категорија:Плоштина]] |
[[Категорија:Плоштина]] |
Преработка од 23:16, 29 јануари 2016
Во геометријата, Хероновата формула служи за пресметување на плоштината P на триаголник за кој се познати должините на трите страни a, b и c и гласи [1]
каде што s полупериметар на триаголникот:
Забелешка: Полупериметарот s на триаголникот е поголем од секоја од страните a, b и c. (Ова следува од неравенство на триаголник.) Значи, сите 4 членa во Хероновата формула се позитивни.
Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=7, b=4 и c=5.
а плоштината е:
Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=3, b=4 и c=5.
а плоштината е: .
Ова е познат правоаголен триаголник, така што страната b е и висината h во однос на основата a. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи .
Хероновата формула може да се напише и во која било од следниве облици:
- Тука и во доказите се користат формулите: .
Историја
Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (Metrica), која е напишана во 60 година н.е. [2][3] Постои индикација дека формулата ја знаел Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само ја забележал, а не да ја открил.
Формула еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:
била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.
Доказ
Оригиналниот доказ на Херон користел тетивни четириаголници. [4].
Следи модерен доказ на формулата кој користи алгебра и тригонометрија, и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека a, b и c се страните на еден триаголник, а , и се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти соодветните страни. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната a за основа на триаголникот. Според косинусната теорема е:
- .
Оттаму се добива алгебарската равенка:
- .
Висината на триаголникот која одговара на основата a има должина , па следува
Во горните операции полиномите се разложуваат користејќи ги формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.
Доказ со користење на Питагоровата теорема
Тука страната c се зема како основа, па почнуваме со
односно .
Од Питагоровата теорема следува: и .
Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи:
.
Значи, треба да се докаже дека: .
Од друга страна:
Следи:
или
или
каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.
Нумеричка стабилност
Хероновата формула во зададениот облик е нумерички нестабилна за триаголници со многу мали агли. Стабилна алтернатива[5] при што се именуваат страните така што: a ≥ b ≥ c па потоа се пресметува по формулата
каде што заградите се потребни за да се спречи нумеричка нестабилност при пресметување.
Обопштување
Хероновата формула е специјален случај формулата Брамагупте за плоштина на тетивни четириаголници, а и двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаи, Хероновата формула се добива ставајќи ја должината на едната страна од четириаголникот еднаква на нула.
Хероновата формула исто така е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во истата се става должината на помалата паралелна страна еднаква на нула.
Изразување на Хероновата формула со помош на детерминанта
со што се гледа и сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.
Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс. [6]
Наводи
- ↑ Интерактивна страна за Херонова формула (македонски)
- ↑ „Статија за Хероновата формула“. WolframAlpha. (англиски) Последен пристап 29. 4. 2013
- ↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF). Addison-Wesley. стр.365 (англиски)
- ↑ Дискусија за доказот на Хероновата формула (англиски) Последен пристап 06.08.2013
- ↑ Предавање за грешки при пресметување плоштина на триаголници со еден многу остар агол, Последен пристап 06.08.2013
- ↑ D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
Поврзани теми
Надворешни линкови
- Интерактивна страна за Херонова формула (македонски)
- Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула (македонски)
- Херонова формула (англиски)
- Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема (англиски)
- Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула (англиски)
- Херонова формула и обопштување на Брамагупте (англиски)