Квадрат (алгебра)

y=x², броеви од 1 до 25 и истите на квадрат

Во алгебрата, квадрат на еден број е истиот тој број помножен сам со себе. За да се дигне на квадрат едно количество се множи само со себе. Ова се запишува со тоа што бројот се надзначува со „2“; бројот x на квадрат се пишува со x². Така:

Ако x е позитивен реален број, вредноста на x² е еднаква на плоштината на еден квадрат со страни со должина x.

Позитивен цел број кој е квадрат на некој друг цел број, на пример 25 што е 5², се нарекува квадратен број, или едноставно „на квадрат“.

Треба да се спомене дека квадратот на било кој број може да се претстави како збирот (за 0≤n)

1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n − 1) + (n − 1) + n.

На пример, 4 на квадрат или 4² е еднакво на

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.

Ова е резултат од собирање на колона и ред со широчина од 1 со квадратната графа од три (како табла за играта „X-0“). Се додаваат три на страна и четири одозгоре за да се добие четири на квадрат. Ова е корисно за брзо наоѓање на квадратот на голем број. На пример, следниов број на квадрат:

52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Освен ова, се гледа дека може да се употреби и друг еквивалентен збир за да се претстави некој број на квадрат. N на квадрат е збир од првите N непарни броеви. 1 на квадрат е 1; 2 е

1 + 3 = 4;

7 на квадрат е

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49.

и така натаму. Ова, се разбира, е исто што и претходниот метод, но со тоа што се собираат секои два броја по првичниот број:

1 + ( 1 + 2 ) + ( 2 + 3 ) + ( 3 + 4 ) + ... = 1 + 3 + 5 + 7 + ...

Општиот израз за низата $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+n^{2}$ е $n(n+1)(2n+1)/6$. Првите изрази на оваа низа (квадратните пирамидални броеви) се :

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201... (низа A000330 во OEIS)

Примена

Бидејќи производот од два реални негативни броеви е позитивен, а производот од два реални позитивни броеви е исто така позитивен, следи дека ниеден број на квадрат не може да биде негативен. Ова има важни последици. Поконкретно, следи дека не може да постои ниеден квадратен корен за негативен број во рамките на системот на реални броеви. Ова на математичарите им остава дупка во системот на реални броеви, која би ја пополниле со претполагање на имагинарни броеви, започнувајќи со имагинарната единица i, која по договор е еден од корените на −1.

Дигањето на квадрат е полезно во статистиката за изнаоѓање на на стандардното отстапување на дадено население или изборна група од нејзината средна вредност. Секоја единица податоци се одзема од средната вредност, па резултатот се става на квадрат. Потоа се зема просек од новото множество броеви (од кои секое е позитивно). Овој просек е варијанса (отстапка), а неговиот квадратен корен е стандардното отстапување -- во финансовото работење, волатилноста.

Поврзано

• Квадратна равенка
• Квадрат (фигура)
• Квадратен корен
• Куб (алгебра)
• Питагорина теорема
• Степенување (експоненцијација)