Давид Хилберт

Давид Хилберт
Давид Хилберт, фотографија од 1912 г,
Роден(а)	23, 1862(1862--23) Кенигсберг
Починал(а)	февруари 14, 1943(1943-02-14) (возр. 81) Гетинген
Државјанство	Германија
Полиња	Математика
Установи	Универзитет во Гетинген
Образование	Универзитет во Кенигсберг
Познат по	Хилбертови аксиоми Хилбертови проблеми Хилбертови простори

Давид Хилберт (германски David Hilbert; Кенигсберг, 23 јануари 1862 - Гетинген, 14 февруари 1943) бил германски математичар кој направил важен придонес во неколку гранки на математиката.

Хилберт во 1888 година објавил една важна Јорданова теорема на системите од повискиот ред, за во 1899 година да ги објави своите основи во геометријата (Grundlagen der Geometrie) во кои таа тема конечно, ја ставил на строга аксиоматска основа. Тој исто така покажал дека геометријата е исто толку доследна како и аритметиката на реални броеви. Во 1900 година, Хилберт издвоил дел од 23-те проблеми како предизвик за математичарите од 20 век; решенија или некој вид на подобрување бил направен за околу три четвртини од нив. Подоцна, Хилберт се посветил на работата на теоретската физика и основите на математиката. Тој го развил математичкиот формализам кој го довел до делот на Основите на математиката (Grundlagen der Mathematik, 1934-1939), заедно со Пол Бернајс. Другите работи на Хилберт го вклучуваат неговиот доказ за проблемот со Варинг, т.е. претпоставката поставена од Варинг 1770, а првото целосно решение било пронајдено од Хилберт 1909, тогаш развојот на т.н. Хилбертовиот простор и придонес кон проучување на интегрални равенки и алгебарска теорија на броеви.

Биографија на Давид Хилберт

Хилберт бил единствениот син на Ото и Марија Тереза (Ердман) Хилберт, роден во Вехлау (Знаменск) во близина на Калининград во Прусија. Во есента во 1872 година, тој се запишал во Гимназијата Фридрих, но во 1879 година се преселил и во 1880 година ја завршил својата научно-ориентирана гимназија во Вилхелм. Во есента истата година се запишал на факултетот во Кенигсберг. Таму станал пријател со талентираниот Херман Минковски.

Во 1884 година, Адолф Хервиц, од факултетот во Гетинген, станал вонреден професор на факултетот во Кенигсберг. Оттогаш, нивната меѓусебна размена на научни идеи имала значително влијание врз нивната научна кариера. Хилберт го добил својот докторат во 1885 година, со дисертација "За непроменливите својства на специјални бинарни форми, со акцент на сферични хармониски функции" (гер. Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen).

На истиот факултет тој останал како професор од 1886 до 1895 година. Се оженил во 1892 со Кети Ерош со која имале еден син. Во 1895 година, Феликс Клејн бил назначен за раководител на Одделот за математика на факултетот во Геттинген, во тоа време најдобриот центар за научни истражувања од областа на математиката во светот, каде што се пензионирал во 1930 година. Неговиот најдобар пријател, Минковски умирел во 1909 година.

Гетингерско образование

Меѓу учениците на Хилберт биле: Херман Вајл, шах-шампионот Емануел Ласкер, Ернст Цермело, Карл Густав Хемпел и подоцна познати математичари: Ото Блументал (1898), Феликс Бернштајн (1901), Херман Веил (1908), Ричард Курант (1910), Ерих Хек (1910), Хуго Штајнхаус (1911), Вилхелм Акерман (1925). На факултетот тој бил опкружен со некои од најважните математичари на 20 век, како што се Еми Нетер и Алонцо Черч. Помеѓу 1902 и 1939 година, Хилберт бил уредник на „Mathematische Annalen“ , водечки математички весник од тоа време.

Подоцнежни години од животот

Хилберт претрпел нацистичкиот прогон на голем број истакнати членови на факултет во 1933 година, меѓу нив Херман Вајл, кој го наследил на катедрата по пензионирањето во 1930 година Германија била принуден да ја напушти, и Пол Бернајс, соработник во областа на математичката логика и соавтор на важни книги Die Grundlagen der Mathematik (издадени во 1934 и 1939). Тоа било продолжение на книгите на Хилберт и Акерманн Начел на теоретската логика на 1928 година. До смртта на Хилберт во 1943 година, нацистите управувале на повеќето научници од факултетот, така што на неговиот погреб присуствуваа само мал број на академици.

На неговиот споменик во Гетинген пишува:

Треба да знаеме.Ќе знаеме.

Хилбертова основна теорема

Првото дело на Хилберт за непроменливи функции го донл во 1888 година на добро позната теорема на конечност. Дваесет години претходно, Пол Гордан демонстрирал теорема за конечноста на бинарните генератори користејќи многу комплицирани пресметки што го направиле невозможно да се примени самиот метод за да функционира со повеќе од две променливи. Хилберт ја видел потребата за сосема поинаков пристап. Како резултат на тоа, тој демонстрирал "основна теорема на Хилберт" која покажува постоење на конечен генератор поставен независно од бројот на променливи во апстрактна форма.

Основната теорема на Хилберт вели дека ако k е поле, тогаш секој идеал во прстенот е составен од неколку променливи полиноми, k [x1, x2, ..., xn] конечно е генериран. Од аспект на алгебарската геометрија, алгебарскиот сет на k може да се опише како заеднички сет на решенија на конечно многу полиноменски равенки.

Хилберт дошол до доказ со контрадикција користејќи математичка индукција. Неговиот метод не обезбедува алгоритам кој ќе произведе многу многу основни полиноми за дадениот идеал, туку само го покажува нивното постоење.

Поедноставна верзија на основната теорема на Хилберт вели: ако R е левиот (односно десен) нетерев прстен, тогаш полиномот прстен R [X] е исто така лев (или десен) нетерев прстен.

Ако е така, a ≠ 0, тогаш degf: = n и an е водечки коефициент на f. Нека I биде идеален во R [x] и да претпоставиме дека I конечно не е генериран. Потоа индуктивно изградена серија f1, f2, ... од елементите на I така што fi + 1 има минимален степен помеѓу елементите на, каде што идеалниот идеал се генерира од f1, ..., fi.

Нека а биде водечки коефициент на fi и нека J е идеалот на R генериран од низата a1, a2, .... Бидејќи R Neterian постои N таков што J е генериран од a1, ..., aN. Затоа, во некои случаи, можно е да се добие контрадикција, ако е познато каде ni = degfN + 1 - degfi, бидејќи degg = degfN + 1 и нивните водечки коефициенти одговараат, така што fN + 1 - g е строго понизок степен на degfN + 1; Ова е во спротивност со изборот на fN + 1. На овој начин се добива дека I конечно е генерирана. Бидејќи произволниот идеал во R [x] е земен за I, секој идеал во R [x] конечно е генериран и следува дека R [x] е нелинеарен.

Ова било доказ за постоењето на конечен сет на генератори, а не буџет и потпирањето на законот на ексклузивна средина во бесконечност. Објавувањето на ова дело во Mathematische Annalen беше одбиено врз основа на тоа дека не е сеопфатно и целосно и дека воопшто не е математика. Хилберт во следната статија, која повторно ја испратил до Annalen, го проширил својот метод со давање пресметки на максималниот степен на минимален сет на генератори. Ова дело било оценето како најважна работа во областа на општата алгебра која магазинот некогаш ја објавува.

Геометриска аксиоматизација

Во текстот на Основите на геометријата (германски Grundlagen der Geometrie), објавен во 1899 година, Хилберт предложил збир на т.н. Хилберт аксиоми кои ги заменуваат традиционалните аксиоми на Евклид. Овие аксиоми ги корегираат слабостите забележани во евклидовите аксиоми кои биле користени буквално, како што биле запишани до тоа време. Независен од Хилберт, деветнаесетгодишниот студент Роберт Ли Мур го објавил истиот сет на аксиоми. Некои од нив се совпаѓаат и некои одговараат на теоремите во множеството на Хилберт и обратно. Пристапот на Хилберт го означи пренасочувањето кон модерна аксиоматска метода. Аксиомите веќе не се земаат како вистинити во себе.

Геометријата може да ги третира работите за кои имаме силна интуиција, но не е неопходно да се додаде експлицитно значење на недефинирани концепти. Елементи како што се: точка, должина и други може да се заменат, како што рекол Хилберт во табели, столици, чаша за пиво и други вакви објекти. Само нивниот дефиниран однос е важен.

Хилберт прво ги означувал недефинираните поими: точката, линијата, рамнината, лежи на (односот меѓу точките и линиите, точките и рамнината, линиите и рамнината), меѓу конјугацијата на паровите на точките и конгруентите на аглите. Аксиомите ја обединуваат геометријата на рамнината и геометријата на просторот во еден систем.

23 проблеми на Хилберт

Хилберт во форма на говорот претставил "Проблеми во математиката" , списокот на нерешени проблеми на Меѓународниот конгрес на математичари во Париз во 1900 година, кој подоцна се проширил на 23 проблеми. Со овој говор сакал да заврши математички многу успешен 19 век и да го предвиди развојот на математиката во иднина. Во таа прилика рекол:

"Ако верувам во развојот на математичкото знаење во блиска иднина, мора да се занимаваме со недовршени прашања и да ги решиме проблемите со кои се соочува науката денес и чии решенија ги очекуваме. Знаеме дека секој век ги носи проблемите што се решаваат или заменуваат до новиот. Крајот на една голема епоха не повикува да се погледнеме назад во минатото, но и да ја разгледуваме непознатата иднина ".

Хилберт ги разгледувал двете најголеми достигнувања во претходниот век: развојот на аритметиката на континумот, кој го придонесоа Коши, Болкано и Кантор и прифаќањето на неевклидовата геометрија на Гауса, Бојаи и Лобачевски.

Неговите проблеми биле многу различни. Некои од нив се толку опширни што ги претставуваат целите области кои треба да бидат истражени. Другите  пак се многу конкретни и се решаваат многу брзо. Постојат оние кои се решени спротивно на очекувањата на Хилберт, но и оние кои сѐ уште се многу малку познати денес.

Хилберт ги поделил проблемите во четири групи. Првата содржела шест основни проблеми, додека другите шест се однесувале на неговото истражување на теоријата на броеви, третата група од шест проблеми претставувала мешавина од алгебарски и геометриски проблеми. Последните пет проблеми ги одразувале интересите на Хилберт.

Самиот Хилберт, како и неговите ученици, не се занимавале премногу со решавањето на овие проблеми, туку се посветиле на проучувањето на просторот на Хилберт. Сепак, проблемите биле брзо прифатени од млади математичари, кои го насочија своето истражување во насоките предвидени со Хилберт. Значењето на овие проблеми може да се види и во фактот дека решавањето на било кој од нив било причина за прослави и награди. Хилберт верувал дека "сè додека гранка на науката нуди мноштво проблеми, таа ќе продолжи да живее", и во тој дух ги изложил своите проблеми.

Неколку примери на проблемот:

• Решение на диофантовата равенка

Дали е можно да се развие алгоритам кој ќе може да покаже дали дадена равенка на Диофант, со произволно многу непознати и со рационални коефициенти, може да се реши во последните многу чекори? На пример. линеарна диофантанска равенка.

На крајот, се покажало дека таков алгоритам не може да се развие.

Прашањето за аксиоматизацијата на физиката

Истражувањата во самите основи на геометријата претставуваат проблем: дали е можно да се набљудуваат, како аксиоми, знаењето во физиката во која математиката игра важна улога; прво, ова се однесува на теоријата на релативноста и механиката. Хилберт мислел дека би било добро кога нивното практично знаење би било логична надградба на теоријата заснована на усогласени аксиоми.

Не било решено.

Проблем топологија на алгебарски кривини и површини. Не било решено.

Проблемите на Хилберт станале еден вид манифест кој го отворила патот за развој на формалното училиште, една од трите главни математички училишта на 20 век. Според формалистите, математиката е игра без значење во која се игра со симболи без значење на формалните правила договорени однапред. Тоа е автономна игра на мислата. Меѓутоа, постојат сомневања дека набљудувањето на Хилберт било формалистичко во овој поглед.

Хилбертова програма

Во 1920 година, Хилберт го предложил истражувачкиот проект кој станал познат како Хилбертова програма. Тој сакал математиката да се формулира на цврста и целосна логичка основа. Тој верува дека во принцип ова може да се направи со прикажување:

• дека сета математика произлегува од правилно избран конечен систем на аксиоми
• дека таквиот систем на аксиоми е доследен преку некои одлики, како што е сметката на епсилон

Оваа програма е препознатлива во популарната филозофија на математиката, која обично се нарекува формализам. На пример, групата Бурбаки (група француски математичари од 20 век) ја прифатиле селективната верзија на програмата како  соодветна за барањата на нивниот двоен проект кој се состои од: пишување преглед на основните работи и поддршка на аксиоматски метод како истражувачка помош.Овој пристап бил успешен во врска со работата на Хилберт во областа на алгебрата и функционалната анализа, но не успеал да привлече интерес во областа на физиката и логиката.

Придонесот на Гедел

Хилберт и неговите талентирани математичари со кои работел биле целосно посветени на неговата работа. Тие настојувале да ја поддржат аксиоматската математика со дефинирани принципи, кои би можеле да ги отфрлат сите несигурности во теоријата, но на крајот тие не успеале.

Гедел покажал дека секој не-контрадикторен формален систем кој би бил доволно сеопфатен за да вклучи барем аритметика, не може сам да ја покаже својата комплетност со своите аксиоми.

Во 1931 година, неговата теорема на некомплетност покажала дека одличниот план на Хилберт не бил возможен уште од самиот почеток. Следните достигнувања на теоријата на докази, како минимум, ја појаснуваат конзистентноста што се однесува на теориите со кои се зафатени математичарите заедно.

Со својата работа, Хилберт започнал со логичен пристап за појаснување на проблемот. Потребата за разбирање на работата на Гедел на крајот води кон развој на рекурзивната теорија и математичката логика како посебна дисциплина во 1930-тите.

Функционална анализа

Околу 1909 година, Хилберт се посветил на проучување на диференцијални и интегрални равенки, и на тој начин директно влијаел врз голем дел од модерната функционална анализа. За да го спроведе своето истражување, Хилберт го вовел концептот на бесконечно димензионалниот Евклидовиот простор, подоцна наречен Хилберт. Неговата работа во ова поле на анализа дава важен придонес во математиката во физиката. Подоцна, Стефан Банаќ го проширил својот концепт и го нарекол простор на Бана. Концептот на Хилбертовиот простор е најважната идеја во полето на функционална анализа во дваесеттиот век.

Хилбертов простор

Математичкиот концепт на Хилбертовиот просторот ја генерализирал идејата за евклидовиот простор на начин кој ги проширува методите на векторска алгебра од 2-димензионален и 3-димензионален простор до бесконечно димензионален простор. Тоа е апстрактен векторски простор во кој растојанијата и аглите може да се измерат и сите се во тој простор.

Просторот на Хилберт се појавува во математиката, физиката и инженерството. Како алатка таа е незаменлива во теоријата на парцијални диференцијални равенки, а во квантната механика неговата важност се гледа во тоа што нуди најдобра математичка формализација на квантната механика. Препознавајќи ги заедничките алгебарски структури во овие различни области создаде концептуално разбирање и со успехот на Хилбертовиот простор, започнала плодна ера за функционална анализа.

Геометриската интуиција игра важна улога во многу аспекти на теоријата. Хилбертниот просторен елемент може да биде едноставно одреден од неговите координати во однос на ортонормирана база. Основната интуиција, зад просторот на Хилберт, е многу едноставна: во голем број физички и математички ситуации, линеарен проблем може да биде претставен во некој простор на Хилберт и анализиран во едноставна геометриска смисла.

Уште една причина за успехот на теоријата за просторот на Хилберт е фактот дека: Иако тие можат да се разликуваат според нивното потчинување и изглед, поголемиот дел од просторите на Хилберт во математиката и физиката се очигледна манифестација на посебен Хилбертов простор.

Придонес кон физиката

До 1912 година, Хилберт бил исклучиво математичар. Дури и неговиот пријател и колега, математичарот Херман Минковски, кој бил во Бон во физичкото истражување, се пошегувал дека треба да поминат 10 дена во карантин пред да го посети Хилберт. Всушност, Минковски бил најмногу одговорен за поголемиот дел од физичките студии на Хилберт до 1912 година, вклучувајќи го и нивниот заеднички семинар во 1905 година.

Три години по смртта на Минковски, Хилберт речиси целосно се посветил на физиката. Тој започнал да ја истражува теоријата на кинетиката на гасовите, а потоа се префрла на истражување на основите на зрачењето и молекуларната теорија на материјата. Дури и во времето на војната, тој присуствувал на предавањата на Алберт Ајнштајн и други физичари.

Хилберт го поканил Ајнштајн во Гетинген во 1915 година за да одржи неделно предавање за неговата теорија на релативноста и теоријата на гравитацијата. Со размена на идеи, тие дошле до конечната форма на полево равенства од теоријата на релативноста, подоцна наречена поле за равенството на Ајнштајн и Ајнштајн-Хилбертовата постапка . Ајнштајн и Хилберт меѓусебно се пишувале за тоа кој прв ги откри равенките на полето, но тие никогаш не започнале јавна дискусија за тоа.

Понатаму, неговата работа овозможила напредок во математичката формулација на квантната механика. Набљудувањето на Хелман Вајлово и Џон фон Нојман за работата на Хилберт било од клучно значење за нивната работа на математичката еквивалентност на механиката на матрицата Хајзенберг и равенството на Шредингер, каде што просторот на Хилберт игра важна улога во квантната теорија. Во 1926 фон Нејман покажал дека ако ги разгледуваме атомските состојби како вектори во просторот на Хилберт, тогаш тие ќе одговараат на теоријата на Шредингер за брановите функции и матриците на Хајзенберг.

Во текот на физиката, Хилберт се обидувал да воведе математичка строгост во физиката. Иако тие биле зависни од повеќе математика, физичарите го користеле несмасно. Како чист математичар, користената математика на Хилберт била исклучително грда и тешко разбирлива. Со зголемување на знаењето за физиката и како да ја користи математиката во физиката, Хилберт развил кохерентна математичка теорија која ја сметал за многу важна во областа на интегралните равенки. Кога Ричард Картентон ја напишал книгата "Методи на математичката физика" во која биле вклучени некои идеи на Хилберт, тој го назначил за соавтор на книгата, иако не директно придонел за пишувањето на книгата.

Хилберт еднаш рекол дека "физиката е претешка за физичари", сакајќи да каже дека им треба математика претешка, така што книгата на Курант-Хилберт им олеснува.

Теорија на броеви

Хилберт ја поврзувал областа на алгебарската теоријата на  броеви со својата теоретска дискусија Захлберицхт ("извештајот за бројот"). Во поширока смисла,се решил проблемот на Варинг. Во тоа време тој има повеќе да објави на оваа тема, но само со појавувањето на модуларните форми на Хилберт во дисертацијата на ученикот може да видиме колку е врзан за таа област.

Тој направил многу претпоставки за класичната теорија на полето. Овој концепт бил многу влијателен, а неговиот придонес најдобро се гледал од имињата на Хилберт класа полето и Хилбертовиот симбол за локалната класична теорија на полето.

Резултатите од неговите теории во оваа област најчесто се покажале во 1930 година, по револуционерното дело на Теиџи Такаги, заради што станал првиот јапонски меѓународен математичар.

Хилберт не работел во суштината на теоријата на аналитички броеви, но неговото име стана познато по претпоставката на Хилберт-По.

Некои интересни работи

• Хилберт бил странски член на лондонското кралско друштво за унапредување на природните науки, познат како The Royal Society . Во 1910 година му било доделена втората Боља награда.
• За време на нацистичкото прогонство, на една забава седел веднаш до германскиот министер за образование Бернхард Руст. Руст го прашал: "Како е сега математиката во Гетинген кога е ослободена од влијанието на Евреите? "А Хилберт одговорил:" Математика во Гертен? Таму навистина нема повеќе. "
• Неговиот Ердешов број би 4. Бројот доделен во чест на унгарскиот математичар Пал Ердеш. За да го добие бројот на Пал Ердеш, тој требало да биде соавтор на математичка статија со автор кој поседува број на Ердо. Како што изгледа може да се види на следниов приказ: Ако Ана соработува со Пал Ердеш во една статија и со Марко во друга, додека Марко никогаш не соработува со самиот Ердеш. Марко ќе го добие Ердеш број 2, бидејќи е два чекора подалеку од Ердеш.