Хелмхолцова равенка

Хелмхолцова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка:

$(\Delta +k^{2})U=0$

каде $\Delta =\nabla ^{2}$ претставува Лапласов оператор, $k$ е бранов број, а $U$ амплитуда. Нехомогената Хелмхолцова равенка го има обликот:

$(\Delta +k^{2})U=f$

Извод

Може да се забележи дека во Хелмхолцовата равенка нема оператори кои претставуваат изводи по време. Хелмхолцовата равенка може да се добие од брановата равенка:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$ (1)

Се претпоставува дека брановата функција се решава со сепарација на променливите по простор и време:

$u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$ (2)

Заменувајќи го изразот (2) во изразот (1) се добива следнава равенка:

${\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.$ (3)

Левата страна на равенката (3) зависи само од просторните координати, а десната страна од времето. Заради сето тоа, во општ случај двете страни на равенката се еднакви на некоја константа, па се добиваат две равенки:

${\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}$ (4)

и

${1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}$ (5)

Преуредувајќи ја равенката (4) се добива:

$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$ (6)

а преуредувајќи ја равенката (5) со помош на супституција $\omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc$ се добива:

${\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,$

Притоа k е бранов вектор, , а ω е аголна честота.

Решавање на Хелмхолцовата равенка со сепарација на променливите

За Хелмхолцовата равенка:

$(\nabla ^{2}+k^{2})A=0$ (7)

Лапласовиот оператор во поларни координати се запишува како:

${\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}$

Заради тоа равенката (7) станува:

${1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0$ (8)

Се прави обид равенката да се реши со сепарација на променливите:

$A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,$

каде Θ мора да биде периодична со периода 2π. Од каде следи:

$\Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,$ (9)

и

$r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,$ (10)

Решенијата од (9) и (10) се:

$\Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,$

$R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,$

каде $J_{n}(\rho )$ е Беселова функција, која е решение на Беселовата равенка:

$\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,$

Тридимензионално решение во сферни координати

Во сферни координати општото решение на Хелмхолцовата равенка е:

$A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).$

каде $j_{\ell }(kr)$ и $y_{\ell }(kr)$ се сферни Беселови функции, а :$Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })$ ги претставува сферните хармоници.

Нехомогена Хелмхолцова равенка

Нехомогената Хелмхолцова равенка:

$(\Delta +k^{2})U=f$

се решава со помош на Гриновата функција, односно:

$\nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,$

Бидејќи е:

$(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$ тогаш е тридимензионална Гринова функција:

$G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.$

Горенапишаните равенки може да се напишат во векторски облик како:

$\left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

а Гриновата функција како:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Решението на нехомогената Хелмхолцова равенка тогаш може да се прикаже со Гриновата функција како: $U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Поврзано

Лапласова равенка

Литература

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
• Хелмхолцови равенки

Надворешни врски

• Helmholtz Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Helmholtz equation“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Vibrating Circular Membrane by Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project.
• Green's functions for the wave, Helmholtz and Poisson equations in a two-dimensional boundless domain