Френелови интеграли

Френелови интеграли $S(x)$ и $C(x)$ — математички трансцендентни функции кои Огистен-Жан Френел ги користел во оптиката. Се користат да ја опишат Френеловата дифракција, а се дефинирани со следните интеграли:

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Со истовремен параметарски цртеж на двата интеграла се добива Ојлерова спирала.

Дефиниција

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},$

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.$

Некои автори го користата ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ како аргумент во интегралот при дефинирање на $S(x)$ и $C(x)$. Тогаш интегралите се множат со ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$, а аргументот x со $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$.

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала

Ојлеровата спирала е позната и како Корнуова спирала или клотоида, а се добива со параметарски приказ на $S(t)$ спрема $C(t)$. Со помош на дефинициите на Френеловите интеграли за dx и dy се добива:

$dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,$

$dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,$

Должината на спиралата мерена од извориштето може да се претстави како:

$L=\int _{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t}{dt}=t$

Својства

• $S(x)$ и $C(x)$ се непарни функции
• Френеловите интеграли можат да се изразат преку функцијата на грешка $\operatorname {erf} (x)$:

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right).$

• Интегралите не можат да се пресметаат во затворена форма со помош на елементарни функции, освен во специјални случаи. Како x тежи кон бесконечност се добива:

$\int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Генерализација

$\int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\sin({\frac {\pi }{2a}})}{a}}$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. Френелови интеграли
• Френелови интеграли

Надворешни врски

• Cephes, Free and open-source software C++/C code to compute Fresnel integrals among other special functions. Used in SciPy and ALGLIB.
• Faddeeva Package, Free and open-source software C++/C code to compute complex error functions (from which the Fresnel integrals can be obtained), with wrappers for Matlab, Python, and other languages.
• „Fresnel integrals“, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001
• „Roller Coaster Loop Shapes“. Архивирано од изворникот на September 23, 2008. Посетено на 2008-08-13.
• „Fresnel Integrals“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „Cornu Spiral“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)