Тригонометриска функција — функција на агол. Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.
Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.
Инверзните тригонометриски функции се викаат циклометриски функции и аркус-функции, т.е. функција-1.
Сл.1. Тригонометриски триаголник
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник, слика десно.

Позитивен математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.
На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток, т.е.
која се вика тригонометриска кружница.
Сл.2. Тригонометриска кружница
- Дефиниција 1
Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките
- (а)
синус и косинус се реални броеви;
- (б)
тангенс и котангенс;
- (в)
секанс и косеканс.
- (г)
косинус версус и синус версус.
Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.
- Теорема 1
- (а)
косинус и синус;
- (б)
тангенс и котангенс;
- (в)
секанс и косеканс.
- Доказ
- Точката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D.
- (а) Следи непосредно заради полупречникот r = 1.
- (б) Да ги воочиме сличните триаголници
од каде
т.е.
да ги воочиме сличните триаголници
одатле
т.е. 
- (в) Од истите слични триаголници (б) добиваме
т.е.
потоа
т.е. 
Крај на доказот.
Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.
На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:
Тригонометриските функции по квадранти
Квадрант |
1. (0°-90°) |
2. (90°-180°) |
3. (180°-270°) |
4. (270°-360°)
|
синус
|
+ |
+ |
- |
-
|
косинус
|
+ |
- |
- |
+
|
тангенс
|
+ |
- |
+ |
-
|
Сведување на првиот квадрант[уреди | уреди извор]
Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за сведување на вредностите на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:



Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:

Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
Така периодот на функцијата е
еднаков
, односно
.
Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во општ случај тоа може да се запише вака:




Притоа f — е произволна тригонометриска функција, g — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а n — цел број.
Вредности на тригонометриските функции[уреди | уреди извор]
Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:
Најчести вредности на тригонометриските функции
 |
0° |
30° |
45° |
60° |
90°
|
|
0 |
 |
 |
 |
1
|
|
1 |
 |
 |
 |
0
|
|
0 |
 |
1 |
 |
|
Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример
и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.
Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2π односно прави 360°. Лак со должина π одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина x радијани одговара на агол од 360x/2π степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: partes minutae primae и partes minutae secundae, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.
Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови:


Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции.
Имајќи ги предвид равенките
и
во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:




Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:
Графикони на тригонометриски функции:
синусо,
косинусо,
тангенсо,
секансо,
косекансо,
котангенсо
Косинус и секанс се парни функции, додека останатите четири се непарни функции:






Тетивата е пократка од лакот
На сликата лево се гледа тетивата
која сигурно е пократка од лакот
Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата
е пократка од полулакот
Триаголникот ODA, со остар агол
е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува
, катетата DA изнесува
, хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и
тогаш
- Теорема 1

Доказ: Следи од
и
Крај.
Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс:
Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.
- Теорема 2

- Доказ
- На сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука
Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен)
ќе добиеме
а оттука
Со
вреди
па е
Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.
Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност:
- Теорема 3
- (а)

- (б)

- (в)

- (г)

- Доказ
- (а)
па
када
(теорема 2).
- (б) Заради
биће 
- (в) Извод на количник

- (г) Извод на количник
Крај на доказот 3.
Интеграли на тригонометриски функции[уреди | уреди извор]
Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.
Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за двојни агли, потоа половини агли, како и претставување на збир и разлика на тригонометриски функции со помош на производ и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.
Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.
Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки[уреди | уреди извор]
Тригонометриските функции косинус и синус може да се претстават како решенија на диференцијални равенки:

со почетним условом
.


Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки[уреди | уреди извор]
Функциите косинус и синус може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки:
Инверзни тригонометриски функции[уреди | уреди извор]
Инверзни тригонометриски функции се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Претставката аркус потекнува од латинскиот збор arcus - лак, агол. Се нарекуваат и циклометриски функции.

Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.
Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.