Тригонометриски функции

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Тригонометриски функции се функции на агол. Името го добиле по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.

Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.

Инверзните тригонометриски функции се викаат циклометриски функции и аркус-функции, т.е. функција-1.

Дефиниции[уреди | уреди извор]

Сл.1. Тригонометриски триаголник

Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник, слика десно.

Позитивен математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.

Тригонометриска кружница[уреди | уреди извор]

На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток, т.е. која се вика тригонометриска кружница.

Сл.2. Тригонометриска кружница
Дефиниција 1

Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките

(а) синус и косинус се реални броеви;
(б) тангенс и котангенс;
(в) секанс и косеканс.
(г) косинус версус и синус версус.

Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.

Теорема 1
(а) косинус и синус;
(б) тангенс и котангенс;
(в) секанс и косеканс.
Доказ
Точката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D.
(а) Следи непосредно заради полупречникот r = 1.
(б) Да ги воочиме сличните триаголници од каде т.е. да ги воочиме сличните триаголници одатле т.е.
(в) Од истите слични триаголници (б) добиваме т.е. потоа т.е.

Крај на доказот.

Посебни агли[уреди | уреди извор]

Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.

Предзнак[уреди | уреди извор]

На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:

Тригонометриските функции по квадранти
Квадрант 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
синус + + - -
косинус + - - +
тангенс + - + -

Сведување на првиот квадрант[уреди | уреди извор]

Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за сведување на вредностите на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:

Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:

Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:

Така периодот на функцијата е еднаков , односно .

Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:

Во општ случај тоа може да се запише вака:

Притоа f — е произволна тригонометриска функција, g — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а nцел број.

Вредности на тригонометриските функции[уреди | уреди извор]

Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница

За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:

Најчести вредности на тригонометриските функции
30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1

Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.

Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:

Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2π односно прави 360°. Лак со должина π одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина x радијани одговара на агол од 360x/2π степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: partes minutae primae и partes minutae secundae, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.

Редови[уреди | уреди извор]

Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови:

Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции.

Имајќи ги предвид равенките и во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:

Графикони[уреди | уреди извор]

Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:

Sine cosine plot.svg
Графикони на тригонометриски функции: синусо, косинусо, тангенсо, секансо, косекансо, котангенсо

Парност[уреди | уреди извор]

Косинус и секанс се парни функции, додека останатите четири се непарни функции:

Гранична вредност[уреди | уреди извор]

Тетивата е пократка од лакот

На сликата лево се гледа тетивата која сигурно е пократка од лакот Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата е пократка од полулакот Триаголникот ODA, со остар агол е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува , катетата DA изнесува , хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и тогаш

Теорема 1

Доказ: Следи од и Крај.

Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс: Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.

Тригонометриски круг
Теорема 2
Доказ
На сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен) ќе добиеме а оттука Со вреди па е Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.

Извод[уреди | уреди извор]

Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност:

Теорема 3
(а)
(б)
(в)
(г)
Доказ
(а) па
када (теорема 2).
(б) Заради биће
(в) Извод на количник
(г) Извод на количник
Крај на доказот 3.

Интеграли на тригонометриски функции[уреди | уреди извор]

Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:

Други особини[уреди | уреди извор]

Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.

Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за двојни агли, потоа половини агли, како и претставување на збир и разлика на тригонометриски функции со помош на производ и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.

Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.

Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки[уреди | уреди извор]

Тригонометриските функции косинус и синус може да се претстават како решенија на диференцијални равенки:

со почетним условом .

Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки[уреди | уреди извор]

Функциите косинус и синус може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки:

Инверзни тригонометриски функции[уреди | уреди извор]

Инверзни тригонометриски функции се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Префиксот аркус потекнува од латинскиот збор arcus - лак, агол. Се нарекуваат и циклометриски функции.

Примена во физиката[уреди | уреди извор]

Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.

Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Тригонометриски и хиперболични функции
СинусКосинусТангенсКотангенсСекансКосеканс
Функцијаsin(x)cos(x)tg(x)ctg(x)sec(x)cosec(x)
Инверзнаarcsin(x)arccos(x)arctg(x)arcctg(x)arcsec(x)arccosec(x)
Хиперболичнаsinh(x)cosh(x)tgh(x)ctgh(x)sech(x)cosech(x)
Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)