Теорема на Чева

За други значења на поимот, погл. Чева (други значења).

Во Евклидовата геометрија, теоремата на Чева е теорема за триаголници. За даден триаголник $△ ABC$ , нека правите $AO, BO, CO$ се повлечени низ темињата и заедничката точка $O$ (која не е на една од страните на $△ ABC$ ), и ги сечат спротивните страни во $D, E, F$ соодветно. (Отсечките $AD, BE, CF$ се познати како чевијани.) Потоа, користејќи ги означените должини на отсечките,

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.

Со други зборови, должината $XY$ се смета за позитивна или негативна според тоа дали $X$ е лево или десно од $Y$ во некоја фиксна ориентација на линијата. На пример, $AF / FB$ е дефинирано како да има позитивна вредност кога $F$ е помеѓу $A$ и $B$ , а во спротивниот случај е негативна.

Теоремата на Чева е теорема на афината геометрија, во смисла дека може да се наведе и докаже без употреба на концептите за агли, плоштини и должини (освен за односот на должините на две отсечки што се колинеарни). Затоа, таа важи за триаголници во која било афина рамнина над кое било поле .

Исто така, важи и малку адаптирано обратно тврдење : Ако точките $D, E, F$ се избрани на $BC, AC, AB$ соодветно, така што

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,

тогаш $AD, BE, CF$ се конкурентни или сите три се паралелни. Обратната теорема често е вклучена како дел од теоремата.

Теоремата често му се припишува на Џовани Чева, кој ја објавил во своето дело од 1678 година „De lineis rectis“. Но, таа била докажана многу порано од Јусуф Ал-Му'таман ибн Худ, крал на Сарагоса од XI век.^[1] Сепак, делото на Ибн Худ било заборавено и било повторно откриено дури во 1985 година.

Со фигурите се поврзани неколку термини изведени од името на Чева: чевиана (линиите $AD, BE, CF$ се чевианите на $O$ ), Чевин триаголник (триаголникот $△ DEF$ е Чевин триаголник за $O$ ); Чевино гнездо, анти-Чевин триаголник, Чевин конјугат.

Теоремата е многу слична на Менелајовата теорема по тоа што нивните равенки се разликуваат само по знакот. Со препишување на секоја од нив во однос на двојни односи, двете теореми може да се сметаат за проективни дуали .^[2]

Докази

Постојат неколку докази за теоремата.^[3] Во продолжение се дадени два доказа.

Првиот е многу елементарен и во него се користат само основни својства на плоштини на триаголници.^[3] Сепак, треба да се земат предвид неколку случаи, во зависност од положбата на точката $O$

Во вториот доказ се користат барицентрични координати и вектори, но тој е малку „поприроден“ бидејќи не зависи од големи и мали букви. Покрај тоа, тој е валиден работи во која било афина рамнина над кое било поле.

Користење на плоштини на триаголници

Прво, знакот на левата страна е позитивен бидејќи или сите три соодноси се позитивни, во случај кога $O$ е во внатрешноста на триаголникот (горниот дијаграм), или едниот е позитивен, а другите два се негативни кога $O$ е надвор од триаголникот (на долниот дијаграм е прикажан еден таков случај).

За да ја провериме големината, забележете дека плоштината на триаголник со дадена висина е пропорционална на неговата основа. Значи

{\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.

Затоа,

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.

(Заменете го минусот со плус ако $A$ и $O$ се на спротивни страни од $BC$ .) Слично,

{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},

и

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.

Со множењето на овие три равенки, добиваме

\left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,

како што се бараше.

Теоремата може лесно да се докаже и со користење на теоремата на Менелај.^[4] Од трансверзалата $BOE$ на триаголникот $△ ACF$ , имаме

{\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1

а од трансверзалната $AOD$ на триаголникот $△ BCF$ ,

{\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.

Теоремата следува со делење на овие две равенки.

Обратното следува како последица.^[3] Нека $D, E, F$ се дадени на правите $BC, AC, AB$ така што равенката важи. Нека $AD, BE$ се сечат во $O$ и нека $F'$ е точката во која се сечат $CO$ и $AB$ . Тогаш, според теоремата, равенката важи и за $D, E, F'$ . Споредувајќи ги двете равенки, добиваме

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}

Но најмногу една точка може да ја дели отсечка во даден однос, па затоа $F = F’$ .

Со користење на барицентрични координати

Ако се дадени три точки $A, B, C$ кои не се колинеарни и точка $O$ , која припаѓа на истата рамнина, барицентричните координати на $O$ во однос на $A, B, C$ се единствените три броја $\lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}$ така што

\lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,

и

{\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},

за секоја точка $X$ (за дефиницијата на оваа нотација со стрелка и понатамошни детали, видете го текстот за афин простор).

За теоремата на Чева, се претпоставува дека точката $O$ не припаѓа на ниедна права што минува низ две темиња на триаголникот. Ова имплицира дека $\lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.$

Ако за $X$ се земе пресекот $F$ на правите $AB$ и $OC$ (видете ги сликите), последната равенка може да се преуреди во

{\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.

Левата страна на оваа равенка е вектор кој има иста насока како и правата $CF$ , а десната страна има иста насока како и правата $AB$ . Овие прави имаат различни насоки бидејќи $A, B, C$ не се колинеарни. Оттука следува дека двата члена на равенката се еднакви на нултиот вектор, и

\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.

Следува дека

{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},

каде што левиот дел е означениот однос на должините на колинеарните отсечки $AF$ и $FB$ .

Со аналогно расудување се покажува дека

{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{и}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.

Теоремата на Чева се добива веднаш со земање на производот од последните три равенки.

Генерализации

Теоремата може да се генерализира на симплекси со поголема димензија користејќи барицентрични координати. Дефинирајте чевијана на $n$ -симплекс како зрак од секое теме до точка на спротивното ( $n - 1$ )-лице (фасет). Тогаш чевијаните се конкурентни ако и само ако на темињата може да се додели распределба на масата така што секоја чевијана го сече спротивниот фасет во неговиот центар на маса. Покрај тоа, точката на пресекот на чевијаните е центарот на масата на симплексот.^[5]^[6]

Друга генерализација на симплекси со повисоки димензии го проширува заклучокот од теоремата на Чева дека производот на одредени односи е 1. Почнувајќи од точка во симплекс, индуктивно се дефинира точка на секое $k$ -лице (фасет). Оваа точка е подножје на чевијаната што оди од темето наспроти $k$ -лицето, во ( $k + 1$ )-лице што ја содржи, низ точката што е веќе дефинирана на ова ( $k + 1$ )-лице. Секоја од овие точки го дели лицето на кое лежи на делови. За даден циклус од парови од вакви делови, производот од односите на волумените на деловите во секој пар е 1.^[7]

Торемата на Рут ја дава плоштината на триаголникот формиран од три чевијани во случај кога тие не се конкурентни (не минуваатниз иста точка). Теоремата на Чева може да се добие од неа со поставување на плоштината на тој триаголник да е еднаква на нула и со решавање.

Аналогот на теоремата за општи полигони во рамнината е познат уште од почетокот на деветнаесеттиот век.^[8] Теоремата е генерализирана и на триаголници на други површини со константна закривеност.^[9]

Теоремата, исто така, има добро позната генерализација во сферна и хиперболична геометрија, така што должините во односите се заменуваат со нивните синуси и хиперболични синуси, соодветно.

Поврзано

Наводи

↑ Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. стр. 210. ISBN 978-3-642-14440-0.
↑ Benitez, Julio (2007). „A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry“ (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 11 (1): 39–44.
1 2 3 Russell, John Wellesley (1905). „Ch. 1 §7 Ceva's Theorem“. Pure Geometry. Clarendon Press. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „r1“ е зададен повеќепати со различна содржина.
↑ Follows Hopkins, George Irving (1902). „Art. 986“. Inductive Plane Geometry. D.C. Heath & Co.
↑ Landy, Steven (December 1988). „A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions“. The American Mathematical Monthly. 95 (10): 936–939. doi:10.2307/2322390. JSTOR 2322390.
↑ Wernicke, Paul (November 1927). „The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension“. The American Mathematical Monthly. 34 (9): 468–472. doi:10.2307/2300222. JSTOR 2300222.
↑ Samet, Dov (May 2021). „An Extension of Ceva's Theorem to n-Simplices“. The American Mathematical Monthly. 128 (5): 435–445. doi:10.1080/00029890.2021.1896292.
↑ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). „Ceva, Menelaus and the Area Principle“. Mathematics Magazine. 68 (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569.
↑ Masal'tsev, L. A. (1994). „Incidence theorems in spaces of constant curvature“. Journal of Mathematical Sciences. 72 (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519.

Дополнително читање

Hogendijk, J. B. (1995). „Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician“. Historia Mathematica. 22: 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001.

Надворешни врски

Менелај и Чева на MathPages
Изводи и примени на теоремата на Чева на cut-the-knot
Тригонометриска форма на теоремата на Чева на <a href="./Cut-the-knot" rel="mw:WikiLink" data-linkid="169" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Alexander Bogomolny&quot;,&quot;thumbnail&quot;:{&quot;source&quot;:&quot;https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Dr._Alexander_Bogomolny_-_Spring_2017_%28cropped%29.jpg/120px-Dr._Alexander_Bogomolny_-_Spring_2017_%28cropped%29.jpg&quot;,&quot;width&quot;:80,&quot;height&quot;:95},&quot;description&quot;:&quot;Israeli American mathematician (1948–2018)&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q56811887&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;source&quot;}" class="mw-redirect cx-link" id="mwAZ4" title="Cut-the-knot">cut-the-knot</a>
Речник на Енциклопедијата на триаголни центри вклучува дефиниции за Чевин триаголник, Чевино гнездо, анти-Чевин триаголник, Чевин конјугат и Чева-точка
Конуси поврзани со Чевино гнездо, од Кларк Кимберлинг
Теорема на Чева од Џеј Варендорф, Проект за демонстрации на Волфрам .

[1] Holme, Audun (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. стр. 210. ISBN 978-3-642-14440-0.

[2] Benitez, Julio (2007). „A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry“ (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 11 (1): 39–44.

[r1-3] 1 2 3 Russell, John Wellesley (1905). „Ch. 1 §7 Ceva's Theorem“. Pure Geometry. Clarendon Press. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „r1“ е зададен повеќепати со различна содржина.

[4] Follows Hopkins, George Irving (1902). „Art. 986“. Inductive Plane Geometry. D.C. Heath & Co.

[5] Landy, Steven (December 1988). „A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions“. The American Mathematical Monthly. 95 (10): 936–939. doi:10.2307/2322390. JSTOR 2322390.

[6] Wernicke, Paul (November 1927). „The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension“. The American Mathematical Monthly. 34 (9): 468–472. doi:10.2307/2300222. JSTOR 2300222.

[7] Samet, Dov (May 2021). „An Extension of Ceva's Theorem to n-Simplices“. The American Mathematical Monthly. 128 (5): 435–445. doi:10.1080/00029890.2021.1896292.

[8] Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). „Ceva, Menelaus and the Area Principle“. Mathematics Magazine. 68 (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569.

[9] Masal'tsev, L. A. (1994). „Incidence theorems in spaces of constant curvature“. Journal of Mathematical Sciences. 72 (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]