Прејди на содржината

Тензорски производ

Од Википедија — слободната енциклопедија

Тензорски производ (ознака) се користи во многу различни полиња поврзани со вектори, матрици, тензори, алгебарски и тополошки векторски простори. Меѓутоа, во сите случаи, тоа значи биланеарна операција. Тензорскиот производ не е комутативен.

Тензорите се дефинирани на тој начин што може да им се доделат одреден број на индекси. Индексите можат да бидат коваријантни (напишани долу) или контраваријантни (напишани горе). Вкупниот број на коваријантни и контраваријантни индекси се нарекува ред на тензорот (ранг на тензорот), кој не зависи од бројот на димензиите на просторот во кој се набљудува тензорот. Тензорите со ред 0 се скалари, оние со ред 1 се вектори. Сите големини кои имаат ред поголем или еднаков на 2 обично се нарекуваат тензори.

Тензорски производ на векторски простори

[уреди | уреди извор]

Тензорскиот производ од два векторски простори и над телото може да се дефинира со користење на методот на генератори и релации. Со тензорскиот производ на два векторски простори, добиваме нов векторски простор чија димензија е еднаква на производот од димензиите на одделните векторски простори. Слично на тоа, со множење на цели броеви се добива нов цел број.

Тензорски производ од два тензори од прв ред (вектори)

[уреди | уреди извор]

Тензорскиот производ на два тензори од прв ред, кои се нарекуваат вектори, има поединечни компоненти определени на следниов начин:

.

За вредностите ова е еднакво на:

.

Тензорски производ од два тензори од втор ред (матрици)

[уреди | уреди извор]

Поединечните компоненти на тензорскиот производ од два тензори од втор ред, кои се матрици, се одредуваат на следниов начин:

Тензорскиот производ може да се напише како:

каде што:

Тензорски производ на два тензори

[уреди | уреди извор]

Ако и се два коваријантни тензори, тогаш нивниот тензорски производ е еднаков на:

.

Ова значи дека тензорскиот производ е еднаков на вообичаениот производ на поединечните компоненти на секој тензор.

Пример: нека биде тензор од типот (1,1) со компоненти и нека е тензор од типот (1, 0) со компоненти . Тогаш:

и
.

Тензорскиот производ ги зачувува сите индекси како што ги имаат поединечните фактори.

Кронекеров производ

[уреди | уреди извор]

Тензорскиот производ на две матрици се нарекува и Кронекеров производ.

Тензорскиот производ на две матрици е:

.

Тензорски производ на повеќелинеарно пресликување

[уреди | уреди извор]

Ако имаме две повеќелинеарни пресликувања и нивниот тензорски производ е мултилинеарна функција:

.

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]
  • Vector Space Tensor Product“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)