Тангентен четириаголник е секој четириаголник за кој важи дека кружница ги допира сите негови страни. Името тангентен потекнува од својството што секоја страна на четириаголникот е тангента на кругот.
Тангентен четириаголник со впишана кружница Една од основните својства на тангентниот четириаголник:
Четириаголникот е тангентен ако и само ако симетралите на неговите внатрешни агли се пресекуваат во една точка.[ 1] Оваа особина го дефинира начинот на конструирање на центарот на впишаната кружница . Се конструираат симетралите на аглите и тие се сечат во центарот на впишаната кружница.
Исто така, важи и една важна особина поврзана со должините на страните:
Четириаголникот АБЦД е тангентен ако
|
A
B
¯
|
+
|
C
D
¯
|
=
|
A
D
¯
|
+
|
B
C
¯
|
{\displaystyle |{\overline {AB}}|+|{\overline {CD}}|=|{\overline {AD}}|+|{\overline {BC}}|}
Последицата е следна. Ако страниците се обележани со a, b, c, d , тогаш е
a
+
c
=
b
+
d
=
a
+
b
+
c
+
d
2
=
s
{\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s}
каде s е полупериметарот.
Ако страните на тангентниот четириаголник се a, b, c, d , и r е полупречник на впишаната кружница, тогаш неговата површина е дадена со формулата
P
=
a
+
b
+
c
+
d
2
⋅
r
{\displaystyle P={\frac {a+b+c+d}{2}}\cdot r}
Четириаголниците во кои истовремено може да се впише и опише кружница се нарекуваат бицентрични четираголници или тетивно-тангентни четириаголници.
Примери на тангентни четириаголници се: квадрат , ромб и делтоид .
Четириаголниците за кои со сигурност знаеме дека во нив не можат да се впишат кружници (не се тангентни) се паралелограмот и правоаголникот . Кај рамнокракиот трапез , постои посебен случај кога може да се впише кружница.
Нека тангентниот четириаголник
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD\,}
трапез (
A
B
¯
|
|
C
D
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}\,||\,{\overline {CD}}}
O
{\displaystyle O\,}
Ако се
r
1
{\displaystyle r_{1}\,}
r
2
{\displaystyle r_{2}\,}
r
3
{\displaystyle r_{3}\,}
r
4
{\displaystyle r_{4}\,}
Δ
A
B
O
{\displaystyle \Delta ABO\,}
Δ
B
C
O
{\displaystyle \Delta BCO\,}
Δ
C
D
O
{\displaystyle \Delta CDO\,}
Δ
D
A
O
{\displaystyle \Delta DAO\,}
1
r
1
+
1
r
3
=
1
r
2
+
1
r
4
{\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}}
И, исто така, ако
s
1
{\displaystyle s_{1}\,}
s
2
{\displaystyle s_{2}\,}
s
3
{\displaystyle s_{3}\,}
s
4
{\displaystyle s_{4}\,}
Δ
A
B
O
{\displaystyle \Delta ABO\,}
Δ
B
C
O
{\displaystyle \Delta BCO\,}
Δ
C
D
O
{\displaystyle \Delta CDO\,}
Δ
D
A
O
{\displaystyle \Delta DAO\,}
s
1
+
s
3
=
s
2
+
s
4
{\displaystyle \ s_{1}+s_{3}=s_{2}+s_{4}}
Математички формули за тангентни четириаголници
Плоштина
A
=
r
⋅
(
a
+
c
)
=
r
⋅
(
b
+
d
)
{\displaystyle A=r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)}
A
=
1
2
⋅
p
2
⋅
q
2
−
(
a
⋅
c
−
b
⋅
d
)
2
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {p^{2}\cdot q^{2}-(a\cdot c-b\cdot d)^{2}}}}
A
=
(
e
+
f
+
g
+
h
)
⋅
(
e
⋅
f
⋅
g
+
f
⋅
g
⋅
h
+
g
⋅
h
⋅
e
+
h
⋅
e
⋅
f
)
{\displaystyle A={\sqrt {(e+f+g+h)\cdot (e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f)}}}
A
=
a
⋅
b
⋅
c
⋅
d
−
(
e
⋅
g
−
f
⋅
h
)
2
{\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d-(e\cdot g-f\cdot h)^{2}}}}
A
=
a
⋅
b
⋅
c
⋅
d
⋅
sin
(
α
+
γ
2
)
=
a
⋅
b
⋅
c
⋅
d
⋅
sin
(
β
+
δ
2
)
{\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot \sin \left({\frac {\beta +\delta }{2}}\right)}
Периметар
U
=
2
⋅
(
a
+
c
)
=
2
⋅
(
b
+
d
)
{\displaystyle U=2\cdot (a+c)=2\cdot (b+d)}
Должина на дијагоналите
p
=
(
e
+
g
)
⋅
(
(
e
+
g
)
⋅
(
f
+
h
)
+
4
⋅
f
⋅
h
)
f
+
h
{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(e+g)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot f\cdot h)}{f+h}}}}
q
=
(
f
+
h
)
⋅
(
(
e
+
g
)
⋅
(
f
+
h
)
+
4
⋅
e
⋅
g
)
e
+
g
{\displaystyle q={\sqrt {\frac {(f+h)\cdot ((e+g)\cdot (f+h)+4\cdot e\cdot g)}{e+g}}}}
Полупречник на впишана кружница
r
=
A
a
+
c
=
A
b
+
d
{\displaystyle r={\frac {A}{a+c}}={\frac {A}{b+d}}}
r
=
e
⋅
f
⋅
g
+
f
⋅
g
⋅
h
+
g
⋅
h
⋅
e
+
h
⋅
e
⋅
f
e
+
f
+
g
+
h
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{e+f+g+h}}}}
Интересен посебен случај е кога тангентниот четириаголник го задоволува условот
α
+
γ
=
β
+
δ
{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta }
Според оваа претпоставка, тангентниот четириаголник е истовремено тетивен четириаголник , т.е. четириаголник со впишана и опишана кружница . Формулата за плоштината на овие четириаголници е едноставна
A
=
a
⋅
b
⋅
c
⋅
d
{\displaystyle A={\sqrt {a\cdot b\cdot c\cdot d}}}
Со помош на Питагоровата и косинусната теорема се добиваат должините на отсечките
k
=
P
R
¯
{\displaystyle k={\overline {PR}}}
l
=
Q
S
¯
{\displaystyle l={\overline {QS}}}
k
=
e
⋅
f
⋅
g
+
f
⋅
g
⋅
h
+
g
⋅
h
⋅
e
+
h
⋅
e
⋅
f
(
e
+
f
)
⋅
(
g
+
h
)
⋅
(
e
+
g
)
⋅
(
f
+
h
)
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+f)\cdot (g+h)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}}
l
=
e
⋅
f
⋅
g
+
f
⋅
g
⋅
h
+
g
⋅
h
⋅
e
+
h
⋅
e
⋅
f
(
e
+
h
)
⋅
(
f
+
g
)
⋅
(
e
+
g
)
⋅
(
f
+
h
)
{\displaystyle l={\sqrt {\frac {e\cdot f\cdot g+f\cdot g\cdot h+g\cdot h\cdot e+h\cdot e\cdot f}{(e+h)\cdot (f+g)\cdot (e+g)\cdot (f+h)}}}}
Ова резултира со соодносот на должините
k
l
=
(
f
+
g
)
⋅
(
e
+
h
)
(
e
+
f
)
⋅
(
g
+
h
)
=
b
⋅
d
a
⋅
c
{\displaystyle {\frac {k}{l}}={\sqrt {\frac {(f+g)\cdot (e+h)}{(e+f)\cdot (g+h)}}}={\sqrt {\frac {b\cdot d}{a\cdot c}}}}
Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте , Математископ. 
