Херонова формула

Триаголник со страни a, b и c.

Во геометријата, Хероновата формула служи за пресметување на плоштината P на триаголник за кој се познати должините на трите страни a, b и c и гласи

$P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

каде што s полупериметар на триаголникот:

$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$ 

Забелешка: Полупериметарот s на триаголникот е поголем од секоја од страните a, b и c. (Ова следува од неравенство на триаголник.) Значи, сите 4 членa во Хероновата формула се позитивни.

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=7, b=4 и c=5.

Тогаш полупериметарот е:   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8$ ,
а плоштината е:  $P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3)}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8$

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=3, b=4 и c=5.

Тогаш полупериметарот е:   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(3+4+5)=6$ ,
а плоштината е:  $P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {6\cdot (6-3)\cdot (6-4)\cdot (6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6$.
Ова е познат правоаголен триаголник, така што страната b е и висината h во однос на основата a. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи $P={\tfrac {1}{2}}ah={\tfrac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4=6$.

Хероновата формула може да се напише и во која било од следниве облици:

$P={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}$

$P={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

$P={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

• Тука и во доказите се користат формулите: $s-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c),\,\,s-b={\tfrac {1}{2}}(a-b+c),\,\,s-c={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)$.

 

Историја

Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (Metrica), која е напишана во 60 година н.е. Постои индикација дека формулата ја знаел Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само ја забележал, а не да ја открил.

Формула еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:

$P={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.

Доказ

Оригиналниот доказ на Херон користел тетивни четириаголници. .

Следи модерен доказ на формулата кој користи алгебра и тригонометрија, и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека a, b и c се страните на еден триаголник, а $\alpha \,$, $\beta \,$ и $\gamma \,$ се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти соодветните страни. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната a за основа на триаголникот. Според косинусната теорема е:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Оттаму се добива алгебарската равенка:

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

Висината на триаголникот која одговара на основата a има должина $h_{a}=b\sin \gamma$, па следува

$P\,$	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{a}$
	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b\sin \gamma$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))((a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2s}}$
	$={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

Во горните операции полиномите се разложуваат користејќи ги формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

Доказ со користење на Питагоровата теорема

Триаголник со висина h која на страната c прави отсечки со должини d и (c−d).

Тука страната c се зема како основа, па почнуваме со

$P={\tfrac {1}{2}}ch_{c}={\tfrac {1}{2}}ch$   односно   $4P^{2}=c^{2}h^{2}$.

Од Питагоровата теорема следува: $h^{2}+d^{2}=b^{2}$   и   $h^{2}+(c-d)^{2}=a^{2}$.

Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи:

$4P^{2}=c^{2}h^{2}=c^{2}\cdot (b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2}$.

Значи, треба да се докаже дека: $(cb)^{2}-(cd)^{2}=4P^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)$.

Од друга страна:

$4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}$

Следи:

$4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb$  или   $(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}=(cb)^{2}$

$4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd$  или   $(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}=(cd)^{2}$

каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.

Нумеричка стабилност

Хероновата формула во зададениот облик е нумерички нестабилна за триаголници со многу мали агли. Стабилна алтернатива при што се именуваат страните така што: a ≥ b ≥ c па потоа се пресметува по формулата

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$

каде што заградите се потребни за да се спречи нумеричка нестабилност при пресметување.

Обопштување

Хероновата формула е специјален случај формулата Брамагупте за плоштина на тетивни четириаголници, а и двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаи, Хероновата формула се добива ставајќи ја должината на едната страна од четириаголникот еднаква на нула.

Хероновата формула исто така е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во истата се става должината на помалата паралелна страна еднаква на нула.

Изразување на Хероновата формула со помош на детерминанта

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

со што се гледа и сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.

Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.

Поврзано

• Периметар
• Плоштина
• Херонов триаголник
• Херон Александриски

Надворешни линкови

• Интерактивна страна за Херонова формула (македонски)
• Интерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула (македонски)
• Херонова формула (англиски)
• Доказ на Хероновaта формулa со помош на Питагоровата теорема (англиски)
• Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула (англиски)
• Херонова формула и обопштување на Брамагупте (англиски)