Разлика помеѓу преработките на „Бројчена анализа“

Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето
Додадени 28 бајти ,  пред 3 години
* Авионските линии користат софистицирани алгоритми за оптимизација при донесување на одлуките за цените на билетите, авионите и членовите на екипажот, како и потребите за гориво. Историски гледано, такви алгоритми се развиени во рамките на областите кои се преклопуваат со операционите истражувања.
* Осигурителните компании користат нумерички програми за статистички анализи.
При решавање на многу практични проблеми, теориската математика може да докаже дека постои решение или дека е единствено, ама не и да даде постапка со која се доаѓа до тоа решение. Затоа нумеричката анализа има за цел да го пронајде приближното нумеричко решение на одреден проблем кое би можело да се искористи во различни инженерски дисциплини, како на пример софтверското инженерство.
Во софтверското инженерство најчесто се користат итеративни постапки, чие решение се приближува до точното, но заради конечниот број на повторувања секогаш отстапува од точното. Отстапувањето на приближното решение од точното решение претставува грешка која може да биде:
# апсолутна грешка
# релативна грешка
# грешка на приближните вредности на функцијата и сл.
Грешките се јавуваат заради нумеричката постапка, како и заради грешките на дадените податоци. Според потеклото грешките можат да бидат:
# грешка од заокружување
# методска грешка
# системска грешка
=== '''Историја''' ===
Областа на нумеричката анализа масовно се користела пред развојот на модерните компјутери. Линеарната интерполација била во употреба пред повеќе од 2000 години. Многу големи математичари од минатото биле преокупирани со нумеричка анализа, што се гледа од имињата на некои важни алгоритми како на пример Њутнов метод, Лагранжова интерполација на полином, Гаусова елиминација или Ојлеров метод.
|}
Ако се направи дискретизација, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од1:20 до 2:00. На пример, вкупното растојание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 km/h) = 93.3 km. Ова ќе ни овозможи да се процени вкупното поминато растојание како што е 93.3 km +100 km + 120 km = 313.3 km, што е пример за нумеричка интеграција
 
'''Лошо условен проблем''': Ако ја земеме функцијата <math>f(x) = \frac{1}{(x-1)}</math>. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0.1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуацијата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.
 
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција <math>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)}}} </math> во близина на  ''x'' = 10 е добро условен проблем. На пример, ''f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1'': скромна промена на х води до скромна промена во  ''f(x).''
 
== '''Генерирање и ширење на грешки''' ==
При решавање на многу практични проблеми, теориската математика може да докаже дека постои решение или дека е единствено, ама не и да даде постапка со која се доаѓа до тоа решение. Затоа нумеричката анализа има за цел да го пронајде приближното нумеричко решение на одреден проблем кое би можело да се искористи во различни инженерски дисциплини, како на пример софтверското инженерство.
Во софтверското инженерство најчесто се користат итеративни постапки, чие решение се приближува до точното, но заради конечниот број на повторувања секогаш отстапува од точното. Отстапувањето на приближното решение од точното решение претставува грешка која може да биде:
# апсолутна грешка
# релативна грешка
# грешка на приближните вредности на функцијата и сл.
Грешките се јавуваат заради нумеричката постапка, како и заради грешките на дадените податоци. Според потеклото грешките можат да бидат:
# грешка од заокружување
# методска грешка
# системска грешка
Проучувањето на формите на грешките е значаен дел од нумеричката анализа. Постојат неколку начини преку кои грешката може да биде вклучена во решението на проблемот.
 
=== '''Заокружување''' ===
Грешките од заокружување се јавуваат бидејќи е невозможно прецизно да се претстават сите реални броеви на машина со конечна меморија
|}
Може да се воочи дека вавилонскиот метод конвергира бргу без оглед на почетната вредност, додека пак Методот Х конвергира екстремно бавно со почетната вредност за х<sub>0</sub>=1.4 и дивергира за вредност за х<sub>0</sub>=1.42. Од тука Вавилонскиот метод претставува нумерички стабилен алгоритам за разлика од методот Х кој е нумерички нестабилен.
 
'''Лошо условен проблем''': Ако ја земеме функцијата <math>f(x) = \frac{1}{(x-1)}</math>. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0.1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуацијата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.
 
'''Добро условен проблем''': Спротивно на тоа, проценка на истата функција <math>{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)}}} </math> во близина на  ''x'' = 10 е добро условен проблем. На пример, ''f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1'': скромна промена на х води до скромна промена во  ''f(x).''
 
Нумеричката стабилност е зависна од бројот на значајни цифри кој што машината (компјутерот) го поддржува.
Доколку користиме компјутер кој што поддржува само четири значајни децимални цифри (после децималната точка), тоа може да претставува добар пример за губење на значајните децималните места коешто може да се увиди преку овие две еквивалентни функции:
 
<math>f(x)=x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})</math> и <math>g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>
 
Ако го споредиме резултатот од:
 
'''Оптимизација''':Да претпоставиме дека продаваме лимонада на тезга, и воочуваме дека при цена 10 денари, можеме да продадеме 197 чаши лимонади на ден, и за секои 0.1денари зголемена цена, продажбата опаѓа за една чаша лимонада на ден. Ако пак продаваме по цена од 14.85 денари, доаѓаме до максимален профит, но поради ограничувањето да нaплатуваме целобројна цена во дени (десети дел од денарот), наплатуваме 14.8 денари или 14.9 денари за чаша ќе добиеме максимален приход од 2205.2 денари на ден.
 
'''Нумеричка интеграција''': Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во нумеричката анализа е пресметување на вредности на {\textstyle \int _{a}^{b}f(x)dx} . Нумеричката интеграција во некои случаи е позната како нумеричка квадратура. Познатите методи користат една од Њутн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратегијата ,,раздели па владеј,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на повеќе интеграли на мали интервали. Во случаите на голем број величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на компјутерските барања, се приоѓа на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или кај умерено голем број величини, се применува методот на ретка мрежа.
 
Методите на ретки мрежи се множество од нумерички техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Сергеј Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се базираат на конструкција на “редок” тензорски производ. Компјутерските алгоритми за ефикасно имплементирање на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Мајкл Грибл и Кристоф Зенгер.
 
 
'''Диференцијална равенка''': Ако 100 луѓе се насочат да дуваат воздух од еден крај на собата на другиот крај и потоа се пушти перо во воздухот, тогаш што ќе се случи? Перото ќе ја следи струјата на воздухот, која може да биде многу комплексна. Една апроксимација е да се измери брзината со која се дува воздухот во близина на перото во секоја секунда, и да се симулира поместувањето на перото како да се движи во права линија со иста брзина во тек на една секунда, пред повторно да се измери брзината на ветерот. Тоа се нарекува Ојлерова метода на решавање на обична диференцијална равенка.
Полето на оптимизација се дели на неколку подобласти, во зависност од формата на функцијата на целта и од ограничувањата. На пример, линеарното програмирање е такво што функција на целта и ограничувањата се линеарни. Познат метод во линеарното програмирање е Симплекс алгоритам (метод).
Методот на Лагранжови множители може да биде користен за редуцирање на оптимизирачки проблеми со ограничување, до оптимизирачки проблеми без ограничување.
 
=== '''Диференцијални равенки'''===
Нумеричката анализа се занимава со пресметување на решението на диференцијални равенки, без разлика дали се обични или парцијални диференцијални равенки.
Податотека:Composite trapezoidal rule illustration.png|Плоштината под функцијата f(x) означена со сино се апроксимира со плоштината на трапезите под деловите на линеарната апроксимација (означена со црвено).
</gallery>
Еден од најчестите проблеми со кои се сретнуваме во нумеричката анализа е пресметување на вредности на <math display="inline">\int_{a}^{b} f(x)dx</math>
Нумеричката интеграција во некои случаи е позната како нумеричка квадратура. Познатите методи користат една од Њутн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратегијата ,,раздели па владеј,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на повеќе интеграли на мали интервали.
Во случаите на голем број величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на компјутерските барања, се приоѓа на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или кај умерено голем број величини, се применува методот на ретка мрежа.
 
Методите на ретки мрежи се множество од нумерички техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Сергеј Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се базираат на конструкција на “редок” тензорски производ.
Компјутерските алгоритми за ефикасно имплементирање на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Мајкл Грибл и Кристоф Зенгер.
Две основни методи на нумеричката интеграција се: проширената трапезна формула и проширената Симсонова формула.
Кај проширената трапезна формула, интервалот на интеграција [a,b] се дели на n-подинтервали со следнава ознака: а=x0 < x1 <....< xn=b. Во сите точки на поделба се пресметуваат вредноста на подинтегралната функција y<sub>i</sub>=f(x<sub>i</sub>), т.ш над секој подинтеграл се формира трапез со спојување на точките T<sub>i</sub>(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>) и T<sub>i+1</sub>(x<sub>i+1</sub>,y<sub>i+1</sub>).
Со тој трапез чијашто плоштина Pi=(x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>)(y<sub>i</sub>+y<sub>i+1</sub>)/2 се апроксимира вистинската плоштина под функцијата f(x) на тој интервал. Покрај вообичаената постапка на еквидистантна поделба, т.е x<sub>i+1</sub>-x<sub>i</sub>=(b-a)/n , со собирање на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:
 
<math>\int_{a}^{b} f(x)dx\approx\tfrac{b-a}{2n}\bigl(y_0+2y_1+2y_2+...+2y_(n-1)+y_n\bigr)</math>
 
Оценката на грешката со оваа нумеричка апроксимација е дадена со :
14

уредувања

Прегледник