Херонова формула

Триаголник со страни a, b, и c.

Во геометрија, Херонова формула служи за пресметување на плоштината A на триаголник за кој се познати должините на трите страни a, b, и c и гласи

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$

каде што s полупериметар на триаголникот:

$s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$ 

Забелешка: Полупериметарот s на триаголникот е поголем од секоја од страните a, b и c. (Ова следува од неравенство на триаголник.) Значи, сите 4 членови во Хероновата формула се позитивни.

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=7, b=4 и c=5.

Тогаш полупериметарот е:   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8$ ,
а плоштината е:  $A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3)}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8$

Пример: Нека ΔABC е триаголник со страни a=3, b=4 и c=5.

Тогаш полупериметарот е:   $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(3+4+5)=6$ ,
а плоштината е:  $A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {6\cdot (6-3)\cdot (6-4)\cdot (6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6$.
Ова е познат правоаголен триаголник, така да страната b е и висината h во однос на основата a. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник следи $A={\tfrac {1}{2}}ah={\tfrac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4=6$.

Херонова формула може да се напише и во било која од следниве формулации:

$A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}$

$A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

$A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}$

• Тука и во доказите се користат формулите: $s-a={\tfrac {1}{2}}(-a+b+c),\,\,s-b={\tfrac {1}{2}}(a-b+c),\,\,s-c={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)$.

 

Историја

Формулата се припиша на Херон, а доказ се може најде во неговата книга „Метрика“ (Metrica), која е напишана 60. године н. е. Постој индикација да формулата ја знал Архимед, а земајќи во обзир дека „Метрика“ е колекција математички знаења со кои располагал антички свет, можно е да Херон само ја забележал, а не ја открил.

Формула еквивалентна на Херонова формула, а запишана во обликот:

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

била позната во древна [[Кина], а откриена независно од Грците. Може да се најде во делот „Девет книга о математички вештини“ (-{Shushu Jiuzhang}-), кои се објавени -{Qin Jiushao}- 1247. год.

Доказ

Оригиналниот доказ на Херон користел впишани четириаголници. .

Следи модеран доказ на формулата кој користи алгебра и тригонометрија, и потполно е поинаков од оригиналниот доказ од Херон. Нека се a, b и c страните на еден триаголник, а $\alpha \,$, $\beta \,$ и $\gamma \,$ се соодветните агли кои се најдат наспроти соодветната страна. Без загуба на општост, ќе ја сметаме страната a за основа на триаголникот. Според косинусната теорема е:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$.

Оттаму се добива алгебарската равенка:

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

Висината на триаголникот која оговара на основа a има должина $h_{a}=b\sin \gamma$, па следува

$A\,$	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{a}$
	$={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b\sin \gamma$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))((a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}$
	$={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2s}}$
	$={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

Во погорното се раздвојуваат полиномите користејќи ги формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

Доказ користејќи ја Питагорова теорема

Троугао са висином h која на страници c прави одсечке дужина d и (c−d).

Тука се земе страната c како основа, па почнуваме со

$A={\tfrac {1}{2}}ch_{c}={\tfrac {1}{2}}ch$   односно   $4A^{2}=c^{2}h^{2}$.

Од Питагорова теорема следува: $h^{2}+d^{2}=b^{2}$   и   $h^{2}+(c-d)^{2}=a^{2}$.

Заменувајќи ја првата примена на Питагорова теорема во последниот израз следи:

$4A^{2}=c^{2}h^{2}=c^{2}\cdot (b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2}$.

Значи, треба да се докаже дека: $(cb)^{2}-(cd)^{2}=4A^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)$.

Од друга страна:

$4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}$

Следи:

$4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb$  или   $(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}=(cb)^{2}$

$4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd$  или   $(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}=(cd)^{2}$

каде што двете применувања на Питагорова теорема се користат во последната равенка.

Нумеричка стабилност

Херонова формула во зададениот облик е нумерички нестабилна за триаголници со многу мали алгли. Стабилна алтернатива при што се именуваат страните така да: a ≥ b ≥ c па потоа се пресметува по формулата

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$

каде што заградите се потребни за да се спречи нумеричка нестабилност при пресметување.

Обопштување

Херонова формула е специјален случај Формула Брамагупте за плоштина на тетивни четириаголници, а двата формули се специјални случаи на Бретшнајдерова формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаи, Херонова формула се добива ставајќи ја должината на едната страна од четириаголник еднаква на нула.

Херонова формула исто така е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во истата се стави должината на помалата паралелна страна еднаква на нула.

Изразување на Херонова формула со помош на [Детерминанта|детерминанта]]

$P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}$

со што се гледа и сличноста на Херонова формула со формулата на Николо Тартаља за зафатина на тетраедар.

Друго обопштување на Херонова формула до петоаголници и шестоаголнице впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.

Поврзани теми

• Полупериметар
• Херонов триаголник
• Херон Александриски

Надворешни линкови

• http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronova -Интерактивна страна за Херонова формула (македонски)
• http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Heronovapr1 -Иинтерактивни примери за пресметување на плоштина со Херонова формула (македонски)

• Херонова формула -{wolfram.com}- (англиски)
• Доказ Хероновa формулa со помош на Питагорова теорема -{cut-the-knot.org}- (англиски)
• Интерактивна анимација за пресметување на плоштина со помош на Херонова формула -{mathopenref.com}- (англиски)
• Херонова формула и обопштување на Брамагупте (англиски)