Рамномерна распределба

Категорија:Статистика

Униформен распоред (англиски: uniform distribution) е модел на распоред на веројатноста. Тој е многу едноставен и има примена во голем број на апликации, игри на среќа и компјутерски симулации. Секоја вредност на X (случајна променлива) има еднаква веројатност за реализирање. Ова е основна особина на униформниот распоред.

При тестирање на хипотези со хи квадрат тест се користи ваков вид на распоред, т.е. униформен распоред.

Униформниот распоред е непараметарски распоред.

Униформниот распоред може да биде дисконтинуиран (дискретен, прекинат) или континуиран (непрекинат).

Прекинат (дискретен, дисконтинуиран) униформен распоред

Ако анализираме едно множество A, кое се состои од вкупно n елементи (n е конечен број на различните вредности кои може да ги земе случајната променлива Х) и притоа веројатноста да се извлече еден од елементите е еднаква со веројатноста да се извлече било кој друг елемент од множеството, станува збор за дискретен униформен распоред. Со математичка формула едноставно може да се пресмета веројатноста да се добие некој од елементите во множеството А:

$P(X=x)={\frac {1}{n}}$

Ако земеме еден график каде на апцисата се наоѓаат вредностите кои може да ги земе непознатата променлива Х, а на ординатата се нанесени веројатностите на соодветните вредности на Х, ќе го добиеме следниот дијаграм. (погледни слика 1)

Слика 1

За да се пресмета аритметичка средина на униформниот распоред се користи истата формула како и за пресметка на очекувана вредност:

$M=E(X)={\frac {n+1}{2}}$

Варијанса на униформниот распоред се пресметува со следната формула:

${\sigma }^{2}={\frac {n^{2}-1}{12}}$

Пример: Правиме опит (експеримент) со фрлање коцка. При фрлање на коцката секоја страна има иста веројатност да се појави заедно со соодветниот број на страната (од 1 до 6). Поради овој факт станува збор за униформен распоред. Случајната променлива Х може да ги земе вредностите во интервал од 1 до 6. Поради тоа, веројатноста да се појави било која страна од коцката е еднаква на 1/6. На пример веројатноста да падне бројот 1 е иста со веројатноста да падне било кој друг број.

$X=1,2,3,4,5,6$

$P(X=x)={\frac {1}{n}}={\frac {1}{6}}=0,166666667$

Непрекинат (континуиран) униформен распоред

Во статистиката и теоријата на веројатност непрекинатиот униформен распоред може да се објасни на следниот начин. Случајната променлива може да се реализира помеѓу интервал од а до b (каде a е помало од b), притоа веројатноста случајната променлива да земе некоја од вредностите во тој интервал е еднаква на:

$F(x)={\frac {1}{b-a}}$

за

$a\leq X\leq b$

Заклучуваме дека веројатноста да ја избереме било која вредност од интервалот е иста. Додека веројатноста да избереме вредност надвор од интервалот е 0. Кога вредноста на случајната променлива е во определениот интервал многу често се случува веројатноста да е многу блиску до 0. Тоа се случува поради големиот број вредности кои можат да земат место во некој интервал, всушност помеѓу било кои 2 броја може да се постават бесконечно многу други броеви.

Графички приказ на веројатноста на оваа функција е даден на слика 2.

Слика 2

Лесно е да се заклучи дека површината под сината крива на слика број 2 изнесува 1. Тоа претставува збир на веројатностите за сите можни вредности на реализација на случајната променлива Х.

Аритметичка средина, а воедно и очекувана ведност на овој распоред се пресметува со следната формула:

$M=E(X)={\frac {a+b}{2}}$

Аритметичката средина претставува точка во средината на интервалот (од a до b) во кој случајнта променлива Х може да земе вредност.

Варијансата на непрекинатиот униформен распоред се пресметува со формулата:

${\sigma }^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$

Кога a=0 и b=1 станува збор за стандарден униформен распоред. Равенката за овој распоред е:

$F(x)=1$

ПРИМЕР:

Процесот генератор претставува множество на инструкции кој генерира случајни вредности за определен процес или дистрибуција (распоред). Excel има функција наречена RAND кој генерира вредности помеѓу 0 и 1 што одговара на униформната дистрибуција. Excel xp користи континуиран униформен распоред за развивање на други распореди.

Без разлика колку пати експеримент се повторува, веројатноста дека вредноста сe појавува во која било дадена келија е иста. Овие резултати се приближни на униформен распоред. А униформната дистрибуција претпоставува дека веројатноста за добивање на број, кој спаѓа во границите помеѓу два броја е иста како онаа на добивање на било кој друг број во тој опсег.