Рамнинска крива

Рамнинска крива — крива што лежи на една рамнина, било Евклидова, афина или проективна. Најчесто се разгледуваат мазните рамнински криви (вкл. мазни по делови) и алгебарските рамнински криви.

Под рамнински криви спаѓаат и Жордановите криви (криви што ограничуваат подрачје на рамнината но не мора да се мазни) и графиците на непрекинати функции.

Симболично претставување

Една рамнинска крива може да се претстави во Декартови координати со имплицитна равенка од обликот $f(x,y)=0$ за дадена функција f. Ако оваа равенка може да се реши експлицитно за y или x — т.е. да се запише како $y=g(x)$ или $x=h(y)$ за дадена функција g или h — тогаш ова дава алтернативен експлицитен облик на записот. Рамнинската крива исто така може да се претстави во Декартови координати со параметарска равенка од обликот $(x,y)=(x(t),y(t))$ за дадени функции $x(t)$ и $y(t).$

Рамнинските криви понекогаш можат да се претстават во алтернативни координатни системи како поларни координати за да се изрази местоположбата на секоја точка со агол и растојание од почетокот.

Мазна рамнинска крива

Мазна рамнинска крива е крива на реална Евклидова рамнина ⁠$\mathbb {R} ^{2}$⁠ и претставува еднодимензионално мазно многуобразие. Ова значи дека мазна рамнинска крива е рамнинска крива која „месно личи на права“, во смисла дека близу секоја точка може да се преслика на права со мазна функција. Така, мазна рамнинска крива може месно да се даде со равенката $f(x,y)=0,$ каде ⁠$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$⁠ е мазна функција, а двата парцијални извода ⁠$\partial f/\partial x$⁠ и ⁠$\partial f/\partial y$⁠ никогаш не се истовремено 0 на точка од кривата.

Алгебарска рамнинска крива

Алгебарска крива е крива во афина или проективна рамнина дадена со една полиномна равенка $f(x,y)=0$ (or $F(x,y,z)=0,$ каде F е хомоген полином, за проективниот случај.)

Алгебарските криви интензивно се проучуваат уште од XVIII век.

Секоја алгебарска рамнинска крива има степен, степенот на определувачката равенка, кој во сучај на алгебарски затворено поле е еднаков на бројот на пресеци на кривата со правата во општа положба. На пример, кружницата дадена од равенката $x^{2}+y^{2}=1$ е од втор степен.

Несингуларните рамнински алгебраски криви од втор степен се нарекуваат конусни пресеци, и сите нивни проективни свршетоци се изоморфни на проективниот свршеток на кружницата $x^{2}+y^{2}=1$ (т.е. проективната крива на равенката $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$). Раминските криви од трети степен се нарекуваат рамнински криви од трети степен и, ако не се сингуларни, елиптични криви. Оние од четврти степен се нарекуваат рамнински криви од четврти степен.

Примери

Овде се прикажани алгебарските криви од прв и втор степен (сите криви со помалку од 3 степени секогаш лежат на крива):

Назив	Имплицитна равенка	Параметарска равенка	Како функција	График
Права	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
Кружница	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
Парабола	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
Елипса	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
Хипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

Поврзано

• Алгебарска крива
• Алгебарска геометрија
• Диференцијална геометрија
• Просторна крива

Литература

• Coolidge, J. L. (28 април 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

Надворешни врски

• „Рамнинска крива“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)