Радикална оска

  Кружници со центри во M₁, M₂.

  Радикална оска за кружниците, на која лежи точката P.

  Taнгентни растојанија од P до двете кружници.

Тангентните растојанија мора да бидат еднакви за која било точка на радикалната оска: ${\overline {PT_{1}}}={\overline {PT_{1}}}\,.$ Ако $P,T_{1},T_{2}$ лежат на заедничка тангента, тогаш $P$ е средишната точка на ${\overline {T_{1}T_{2}}}$.

Во Евклидовата геометрија, радикалната оска на две неконцентрични кружници е множество точки чиишто степени во однос на кружниците се еднакви. Поради оваа причина радикалната оска се нарекува и права на степенот или симетрала на степенот на двете кружници. Подетално:

За две кружници c₁, c₂ со центри M₁, M₂ и полупречници r₁, r₂ степените на точката P во однос на кружниците се

$\Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.$

Точката P лежи на радикалната оска ако

$\Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P).$

Ако кружниците имаат две заеднички точки, радикалната оска е заедничката секанта на кружниците.Ако точката P е надвор од кружниците, P има еднакво тангенцијално растојание од обете кружници.Ако радиусите на кружниците се еднакви, радикалната оска е симетралата на отсечката на M₁M₂.

Во секој случај, радикалната оска е права нормална на ${M_{1}M_{2}}.$

За ознаките

Поимот радикална оска го користел францускиот математичар М. Шал како аxe radical. JV Poncelet го користел поимот chorde ideale. Ј. Плукер го вовел терминот Chordale. Ј. Штајнер радикалната оска ја нарекол права на еднакви степени (германски: Linie der gleichen Potenzen) што водеше до права на степени (Potenzgerade).

Својства

Геометриска форма и позиција на радикалната оска

Нека ${\vec {x}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2}$ се векторите на позицијата на точките $P,M_{1},M_{2}.$ Тогаш равенката која ја дефинира радикалната оска може да се запише како:

$({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0$

Дефиниција и пресметка на $d_{1},d_{2}$

Од десната равенка се добива дека

Радикалната оска е права која е нормална на правата што минува низ центрите на кружниците.

${\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}$ е нормален вектор на радикалната оска.

Ако равенката се подели со $2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|$ се добива Хесијановата нормална форма. Вметнувањето на позиционите вектори на центрите ги дава растојанијата помеѓу центрите и радикалната оска:

$d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}$,

каде $d=|M_{1}M_{2}|=|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|$.

( $d_{i}$ може да биде негативно ако $L$ не е помеѓу $M_{1}$ и $M_{2}.$)

Ако кружниците се сечат во две точки, радикалната оска поминува низ заедничките точки. Ако тие само се допираат една со друга, радикалната оска е нивната заедничка тангента.

Специјални позиции

Радикална оска: варијации

• Радикалната оска на две кружници кои се сечат е нивната заедничка секанта.

Радикалната оска на две кружници кои се допираат е нивна заедничка тангента.

Радикалната оска на две кружници што немаат заеднички точки е заедничката секанта на две кружници кои се ортогонални на дисјунктните кружници (видете го подолу делот Ортогонални кружници).

Ортогонални кружници

Допирните точки на тангентите повлечени од $P$ лежат на ортогоналната кружница (осначена со зелена боја).

• За точка $P$ надвор од кружницата $c_{i}$ и двете тангентни точки $S_{i},T_{i}$ равенката $|PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)$ важи и точките $S_{i},T_{i}$ лежат на кружницата со центар $P$ и радиус ${\sqrt {\Pi _{i}(P)}}.$ Кружницата $c_{o}$ ја сече $c_{i}$ ортогонално. Оттука:

Ако $P$ е точка од радикалната оска, тогаш четирите точки $S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}$ лежат на кружницата $c_{o}$, која ги сече дадените кружници $c_{1},c_{2}$ ортогонално. .

• Радикалната оска се состои од сите центри на кружници, кои ги сечат дадените кружници ортогонално.

Систем од ортогонални кружници

Методот опишан во претходниот дел за конструирање на прамен од кружници, кои ортогонално сечат две дадени кружници, може да се прошири на метод за конструкција на два меѓусебно ортогонални системи (прамени) од кружници:

Нека $c_{1},c_{2}$ се две дисјунктни кружници со различни центри (како во претходниот дел), нека $M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}$ се нивните центри и радиуси и нека $g_{12}$ е нивната радикална оска. Сега, сите кружници ќе бидат определени со нивните центри на правата ${M_{1}M_{2}}$ кои заедно со $c_{1}$ ја имаат правата $g_{12}$ како радикална оска. Ако $\gamma _{2}$ е кружница чиј центар има растојание $\delta$ до центарот $M_{1}$ и радиус $\rho _{2}$, од резултатот во претходниот дел се добива равенката

$d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }},\quad$каде $d_{1}>r_{1}$ сe фиксни.

Ако $\delta _{2}=\delta -d_{1},$ равенката може да се препише како:

$\delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}$.

Систем од ортогонални кругови: конструкција

Ако радиусот $\rho _{2}$ е даден, од оваа равенка се наоѓа растојанието $\delta _{2}$ од (фиксната) радикална оска до новиот центар. На дијаграмот, бојата на новите кружници е виолетова. Секоја зелена кружница (видете го дијаграмот) има центар на радикалната оска и ги сече кружниците $c_{1},c_{2}$ ортогонално и оттука и сите нови кружници (означени со виолетова боја). Изборот на (црвената) радикална оска како $y$-оска и на правата ${M_{1}M_{2}}$ како $x$-оска, двата прамена од кружници ги имаат равенките:

виолетов: $\ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}$

зелен: $\ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .$

($\;(0,y_{g})$ е центарот на зелената кружница.)

'Својства:'а) Било кои две зелени кружници се сечат на $x$-оската во точките $P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}$, т.е. во половите на ортогоналниот систем од кружници. Тоа значи дека $x$-оската е радикалната оска на зелените кружници. б) Виолетовите кружници немаат заеднички точки. Но, ако ја земеме предвид реалната рамнина како дел од комплексната рамнина, тогаш кои било две виолетови кружници се сечат на $y$-оската (нивната заедничка радикална оска) во точките $Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}$ .

Параболичен ортогонален систем

Коаксални кружници: видови

'Посебни случаи:'а) Во случајот $d_{1}=r_{1}$ зелените кружници се допираат едни со други во почетната точка со $x$-оската како заедничка тангента, а виолетовите кругови ја имаат y-оската како заедничка тангента. Таквиот систем од кружници се нарекува коаксијални параболични кружници (видете подолу).б) Со смалување на $c_{1}$ до неговиот центар $M_{1}$, т.е. $r_{1}=0,$ равенките добиваат поедноставна форма и се добива $M_{1}=P_{1}$ .

'Заклучок:'а) За кој било реален број $w$ праменот од кружници

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\$ :}

го има својството: $y$-оската е реалната оска на $c(\xi _{1}),c(\xi _{2})$.

Aко $w>0$ кружниците $c(\xi _{1}),c(\xi _{2})$ се сечат во точките $P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})$.

Ако $w<0$ кружниците $c(\xi _{1}),c(\xi _{2})$ немаат заеднички точки .

Ако $w=0$ кружниците $c(\xi _{1}),c(\xi _{2})$ се допираат во $(0,0)$ и $y$-оската e нивната заедничка тангента.

б) За кој било реален број $w$ двата прамена од кружници

$c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,$

$c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\$

формираат систем од ортогонални кружници. Tоa значи дека: секои две кружници $c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )$ сe сечат ортогонално.

в) Од равенките во б) се добива претставување кое не зависи од координатите:

Ортогонален систем од кружници за дадени полови $P_{1},P_{2}$

За дадените точки $P_{1},P_{2}$, нивната средишна точка $O$ и симетралата на отсечката која ја формираат $g_{12}$, двете равенки

$|XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\,$

$|XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}$

со $M$ на ${\overline {P_{1}P_{2}}}$, но не помеѓу $P_{1},P_{2}$ и $N$ на $g_{12}$ го опишуваат ортогоналниот систем од кружници еднозначно определен од половите на системот $P_{1},P_{2}$.

За $P_{1}=P_{2}=O$ мора да се земат и оските на системот $a_{1},a_{2}$. Овој системот е параболичен :

$|XM|^{2}=|OM|^{2}\,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}$

со $M$ на $a_{1}$ и $N$ на $a_{2}$ .

Конструкција со линијар и шестар:

Ортогонален систем од кружници: конструкција со линијар и шестар

Систем од ортогонални кружници е определен еднозначно од неговите полови $P_{1},P_{2}$ :

1. Оските (радикалните оски) се правата ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ и симетралата на отсечката $g_{12}$ на половите.
2. Кружниците (зелените на дијаграмот) низ $P_{1},P_{2}$ ги имаат своите центри на $g_{12}$ и тие можат лесно да се нацртаат. За точката $N$ радиусот е $\;r_{N}={\overline {NP_{1}}}\;.$
3. За да нацртате кружница од вториот прамен (синиот на дијаграмот) со центар $M$ на ${\overline {P_{1}P_{2}}}$, радиусот $r_{M}$ се одредува со римена на Питагоровата теорема: $\;r_{M}^{2}={\overline {OM}}^{2}-{\overline {OP_{1}}}^{2}\;$ (видете го дијаграмот).

Во случајот кога $P_{1}=P_{2}$ оските мора дополнително да се изберат. Системот е параболичен и може лесно да се нацрта.

Коаксални кругови

Дефиниција и својства:

Нека $c_{1},c_{2}$ да бидат две кружници и $\Pi _{1},\Pi _{2}$ се нивните функции на степен. За кој било $\lambda \neq 1$,

• $\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0$

е равенка на кружница $c(\lambda )$ (видете подолу). Таквиот систем на кружници се нарекува систем од коаксални кружници генерирани од кружниците $c_{1},c_{2}$ . (Во случајот $\lambda =1$ равенката ја опишува радикалната оска на $c_{1},c_{2}.$)

Степената функција на $c(\lambda )$ е

$\ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}$.

Нормираната равенка (во која коефициентите пред $x^{2}$ и $y^{2}$ се еднакви на 1) на $c(\lambda )$ е $\ \Pi (\lambda ,x,y)=0.$

Со едноставна пресметка се покажува дека:

• кружниците $c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,$ имаат иста радикална оска како и $c_{1},c_{2}$.

Ако $\lambda$ се стреми кон бесконечност, се гледа дека $c_{1},c_{2}$ се членови на системот на коаксални кружници: $c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )$ .

(Е): Ако $c_{1},c_{2}$ се сечат во две точки $P_{1},P_{2}$, тогаш секоја кружница $c(\lambda )$, исто така, ги содржи $P_{1},P_{2}$, и правата ${P_{1}P_{2}}$ е нивната заедничка радикална оска. Таквиот прамен се нарекува елиптичен.

(П): Ако $c_{1},c_{2}$ се допираат во $P$, тогаш секоја кружница ги допира $c_{1},c_{2}$ во точката $P$. Нивна заедничката тангента е нивната заедничка радикална оска. Таквиот систем се нарекува параболичен.

(H): Ако $c_{1},c_{2}$ немаат заедничка точка, тогаш кој било пар кружници од системот, исто така немаат заеднички точки. Радикалната оска на кој било пар кружници е радикалната оска на $c_{1},c_{2}$. Ваквиот системот се нарекува хиперболичен.

Подетално:

Со воведување на координати, имаме

$c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}$

$c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}$,

и тогаш $y$-оската е нивната радикална оска (видете погоре).

Со пресметување на степената функција $\Pi (\lambda ,x,y)$ се добива нормираната равенка:

$c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .$

Со дополнување на квадратот и замената $\delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}$ ($x$-координата на центарот) се добива центрираната форма на равенката

$c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}$.

Во случајот $r_{1}>d_{1},$ за кружниците $c_{1},c_{2},c(\lambda )$ двете точки

$P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}$

се заеднички и системот на коаксални кружници е елиптичен.

Во случајот кога $r_{1}=d_{1}$ кружниците $c_{1},c_{2},c(\lambda )$ имаат една заедничка точка $P_{0}=(0,0)$ и системот е параболичен.

Во случај кога $r_{1}<d_{1}$ кружниците $c_{1},c_{2},c(\lambda )$ немаат ниту една заедничка точка и системот е хиперболичен.

'Алтернативни равенки:'

1. Во дефинирачката равенка на коаксален систем од кружници може да се користат и множители на степените функции.
2. Равенката на една од кружниците може да се замени со равенката на посакуваната радикална оска. Радикалната оска може да се гледа како кружници со бесконечно голем радиус. На пример, равенката:

$(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow$

$(x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}$,

ги опишува сите кружници, кои со првата кружница ја имаат правата $x=x_{2}$ како радикална оска.3) За да се изрази еднаквиот статус на двете кружници, често се користи следнава форма:

$\mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.$

Но, во овој случај, претставувањето на кружницата со параметрите $\mu ,\nu$ не е уникатна.

Апликации:

а) Инверзиите во однос на кружници и Мебиусовите трансформации ги зачувуваат аглите и генерализираните кружници. Оттука, ортогоналните системи на кружници играат суштинска улога во истражувањата на овие пресликувања.

б) Во електромагнетизмот, коаксалните кружници се појавуваат како линии на полето.

Радикален центар на три кружници, конструкција на радикалната оска

Радикален центар на три кружници.
Зелената кружница ги сече трите кружници ортогонално.

За три кружници $c_{1},c_{2},c_{3}$, од кои никои две не се концентрични, постојат три радикални оски $g_{12},g_{23},g_{31}.$ Ако центрите на кружниците не лежат на една права, радикалните оски се сечат во заедничка точка $R$, радикалниот центар на трите кружници. Ортогоналната кружница на две кружници со центар во $R$ е исто така ортогонална на третата кружница (радикална кружница).

Доказ: Радикалната оска $g_{ik}$ ги содржи сите точки што имаат еднакво тангенцијално растојание од кружниците $c_{i},c_{k}.$ Пресечната точка $R$ на правите $g_{12}$ и $g_{23}$ има исто тангенцијално растојание до сите три кружници. Оттука следува дека $R$ е точка на радикалната оска $g_{31}.$

Ова својство овозможува конструкција на радикалната оска на две дисјунктни кружници $c_{1},c_{2}$ со центри $M_{1},M_{2}.$ Се црта трета кружница $c_{3}$ со центар во точка која не е колинеарна со дадените центри $M_{1},M_{2}$ која истовремено ги сече $c_{1}$ и $c_{2}.$ Радикалните оски $g_{13},g_{23}$ може лесно да се нацртаат. Нивната пресечна точка е радикалниот центар $R$ на трите кружници и лежи на $g_{12}.$ Правата низ $R$ што е нормална на ${\overline {M_{1}M_{2}}}$ е радикалната оска $g_{12}$.

Дополнителен метод за конструкција:

Конструкција на радикалната оска со еднаквостепени кружници $c'_{1},c'_{2}$. Тоа значи дека $\Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})$ .

Сите точки кои имаат ист степен во однос на дадена кружница $c$ лежат на кружница концентрична на $c$. Оваа кружница се нарекува еквистепена кружница. Ова својство може да се искористи за наоѓање на дополнителен метод за конструкција на радикалната оска на две кружници:

За две кружници што не се сечат $c_{1},c_{2}$, можат да се нацртаат две еквипотентни кружници $c'_{1},c'_{2}$, кои содржат точки кои имаат исти степени во однос на $c_{1},c_{2}$ (видете го дијаграмот). Детално: $\Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})$ Ако степенот е доволно голем, кружниците $c'_{1},c'_{2}$ имаат две заеднички точки, кои лежат на радикалната оска $g_{12}$.

Релација со биполарните координати

Општо земено, кои било две дисјунктни, неконцентрични кружници можат да се порамнат со кружниците на систем од биполарни координати. Во тој случај радикалната оска е $y$ -оската на овој координатен систем. Секоја кружница на оската што минува низ двата фокуса на координатниот систем ги сече двете кружници ортогонално. Максималната колекција од кружници, сите со центри на дадена права и меѓу кои сите парови имаат иста радикална оска, е позната како прамен од коаксални кружници.

Радикален центар во трилинеарни координати

Ако кружниците се претставени во трилинеарни координати на вообичаен начин, тогаш нивниот радикален центар е погодно даден како одредена детерминанта. Поточно, нека $X=x:y:z$ означува променлива точка во рамнината на триаголникот $ABC$ со страни со должини $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,$ и кружниците се претставени на следниов начин:

$(dx+ey+fz)(ax+by+cz)+g(ayz+bzx+cxy)=0,$

$(hx+iy+jz)(ax+by+cz)+k(ayz+bzx+cxy)=0,$

$(lx+my+nz)(ax+by+cz)+p(ayz+bzx+cxy)=0.$

Тогаш радикалниот центар е точката со трилинеарни координати

${\begin{vmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{vmatrix}}\,.$

Радикална рамнина и хиперрамнина

Радикалната рамнина на две неконцентрични сфери во тридимензионален простор се дефинира слично: тоа е локусот од точки од кои тангентните растојанија до двете сфери имаат иста должина. Фактот дека ова геометриско место од точки е рамнина произлегува од тоа што при ротација на радикалната оска во третата димензија се добива рамнина.

Истата дефиниција може да се примени на хиперсфери во Евклидов простор од која било димензија, при што се добива таканаречена радикална хиперрамнина на две неконцентрични хиперсфери.

Наводи

• R. A. Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin. изд.). New York: Dover Publications. стр. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.

Дополнително читање

• C. Stanley Ogilvy (1990). Excursions in Geometry. Dover. стр. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. стр. 31–36, 160–161. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

Надворешни врски

• „{{{title}}}“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• „{{{title}}}“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Animation at Cut-the-knot