Појдовен систем

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај

Во физиката, појдовниот систем (или референтен систем) се состои од апстрактен координатен систем и збир од физички референтни точки кои уникатно ги поправаат (се лоцира и се ориентираат) координатните системи и ги стандардизира мерењата.

Во n димензиите, n+1 референтни точки се доволни за целосно да го дефинирате референтниот систем. Користење на правоаголни (Декартови) координати, референтниот систем може да биде дефиниран со една референтна точка на потекло и референтна точка во единица растојание заедно со секој од n координантните оски.

Во Релативноста на Ајнштајн, референтниот систем се користи за да се определи односот помеѓу движењето на набљудувачот и појава или феноменот под опсервација. Во овој контекст, фразата често станува "набљудувачки референтен систем" што значи дека набљудувачот не е во движење во појдовниот систем, иако не мора да се наоѓа во своето потекло. Релативниот референтен систем ги вклучува (или подразбира) координитите за време, што не кореспондира во различни рамки на движење релативно една до друга. Состојбата на тој начин се разликува од релативноста на Галилео, каде сите можни координатни пати во суштина се еквивалентни.

Треба да се направи разлика помеѓу различните значења на "референтиот систем" за да доведе до различни термини. На пример, понекогаш некој тип на координатен систем е прикачен како модификаторот, како и во Декартов референтен систем. Понекогаш состојбата на движење е нагласена, како и во ротирачкиот референтен систем. Понекогаш на начинот на кој таа се трансформира во системите и се смета за поврзана е нагласена како во референтниот систем на Галилео. Понекогаш системите се разликуваат по големината на своите забелешки, како и во макроскопски и микроскопски појдовни системи.[1]

Во овој напис, терминот набљудубачки референтен систем се користи кога акцентот е врз состојбата на движење отколку по координатниот избор или карактерот на набљудувања или набљудувачки апарат. Во оваа смисла, набљудувањето на референтниот систем овозможува проучување на ефектот на движење по целото семејство на координирање на системите на кои би можеле да се додадат на овој систем. Од друга страна, координатен систем може да се користи за многу цели, каде што состојбата на движење не е примарна грижа. На пример, координатниот систем може да се усвои за да се искористат предностите на симетричноста на системот. Во уште поширока перспектива, формулацијата на многу проблеми во физиката вработува генерализирани координати, нормални режими или вектори, кои се само индиректно поврзани со просторот и времето. Се чини корисно да се разведат различни аспекти на референтниот систем за дискусијата подолу. Ние затоа набљудувачкиот појдовен систем, координатните системи, и набљудувачката опрема како независни концепти, ги одделивме како што е подолу:

  • Набљудувачкиот систем (како што е инерцијалниот систем или неинерцијалниот референтен систем) е физички концепт поврзан со состојбата на движење.
  • Координатниот систем е математички концепт, што се смета за избор на јазикот кој се користи за да се опише набљудувањето.[2] Како резултат на тоа, набљудувач во набљудувачкиот референтен систем може да избере да се избере каков било координатен систем (Декартови, поларните, генерализирано, ...) за да опише набљудување направено од референтниот систем. Промената во изборот на овој координатен систем не го менува набљудувач на состојбата на движење, и така нема да доведе до промена на набљудувачот во набљудувачкиот референтен систем. Оваа гледна точка може да се најде на друго место.[3] Кој неможе да докаже  дека некои координинатни системи можат да бидат подобар избор за некои согледувања од други.
  • Изборот на она што може да се измери и со она што набљудувачкиот апарат е прашање подалеку од набљудувачката  состојба на движење и избор на координатен систем.

Тука е понудата која е применлива за да го движат набљудувачкиот систем  и разни поврзани Евклидовиот трети простор на координатниот систем [R, R", итн.]:[4]

We first introduce the notion of reference frame, itself related to the idea of observer: the reference frame is, in some sense, the "Euclidean space carried by the observer". Let us give a more mathematical definition:… the reference frame is... the set of all points in the Euclidean space with the rigid body motion of the observer. The frame, denoted , is said to move with the observer.… The spatial positions of particles are labelled relative to a frame by establishing a coordinate system R with origin O. The corresponding set of axes, sharing the rigid body motion of the frame , can be considered to give a physical realization of . In a frame , coordinates are changed from R to R′ by carrying out, at each instant of time, the same coordinate transformation on the components of intrinsic objects (vectors and tensors) introduced to represent physical quantities in this frame.
As noted by Brillouin, a distinction between mathematical sets of coordinates and physical frames of reference must be made. The ignorance of such distinction is the source of much confusion… the dependent functions such as velocity for example, are measured with respect to a physical reference frame, but one is free to choose any mathematical coordinate system in which the equations are specified.
The idea of a reference frame is really quite different from that of a coordinate system. Frames differ just when they define different spaces (sets of rest points) or times (sets of simultaneous events). So the ideas of a space, a time, of rest and simultaneity, go inextricably together with that of frame. However, a mere shift of origin, or a purely spatial rotation of space coordinates results in a new coordinate system. So frames correspond at best to classes of coordinate systems.
In traditional developments of special and general relativity it has been customary not to distinguish between two quite distinct ideas. The first is the notion of a coordinate system, understood simply as the smooth, invertible assignment of four numbers to events in spacetime neighborhoods. The second, the frame of reference, refers to an idealized system used to assign such numbers … To avoid unnecessary restrictions, we can divorce this arrangement from metrical notions. … Of special importance for our purposes is that each frame of reference has a definite state of motion at each event of spacetime.…Within the context of special relativity and as long as we restrict ourselves to frames of reference in inertial motion, then little of importance depends on the difference between an inertial frame of reference and the inertial coordinate system it induces. This comfortable circumstance ceases immediately once we begin to consider frames of reference in nonuniform motion even within special relativity.…More recently, to negotiate the obvious ambiguities of Einstein’s treatment, the notion of frame of reference has reappeared as a structure distinct from a coordinate system.

Дискусијата е донесена надвор од едноставниот просторски-временски координатен систем од страна на Брадинг и Кастелани. [5] Екстензијата на координатниот систем со користење на генерализирана координантна основа на Халмитовите и Лагрангините формулации[6] на квантното поле на теоријата, класичната механика,и квантната гравитација.[7][8][9][10][11]

Набљудувачот О, сместен на потеклото на локалниот збир на координатниот – референтен систем F. Набљудувачот во овој систем ги користи координати (x, y, z, t) за да опише настан, прикажан како ѕвезда.

Иако терминот "координатен систем" често се користи (особено од страна на физичари) терминот "координатен систем" има прецизно значење во наставата по математика.

Координатниот систем во математиката е еден аспект на геометрија и алгебра,[12][13] (на пример, во физиката, конфигурациските простори ).[14][15] На координатите на една точка r во n-димензионалниот простор е едноставно нареда од збирот на n броеви:[16][17]

Во општиот Банахнски простор, овие броеви може да бидат на (на пример) коефициенти во функционалното проширување како Фуриевата серија. Во физичкиот проблем, тие би можеле да бидат  координати за време и простор или нормален режим за амплитудите. Во роботиката, тие би можеле да бидат агли во однос на ротации, линеарна преместувања, или деформации на зглобовите.[18] Овде ние ќе претпоставиме дека овие координати може да се поврзани со некој Декартов координатен систем со збир на функции:

каде x, y, z, итн. се n во Декартовиот координатен на точката. Со оглед на овие функции, координатните површини се дефинирани од страна на односи:

   

Пресекот на овие површини се дефинира како координантни линии. Во секоја избрана точка, тангентите на пресечните координатни линии во тој момент се дефинира збир на основни вектори {e1, e2, ..., en} во таа точка. Тоа е:[19]

   

кој може да биде нормализиран и  да биде во единица должина.

Координатните површини, координатните линии, и основните вектори се компоненти на координатниот систем.[20] Ако основните вектори се ортогонално во секоја точка, на координатен систем е ортогонален координатен систем.

Важен аспект на координатен систем е неговиот метрички тенсор gik, кој ја одредува  должина на лак ds во координатниот систем во однос на нејзините координати:[21]

каде индекси што се повторуваат се сумирани во текот.

Како што е очигледно од овие забелешки, координатниот систем е математичка изградба, дел од аксиоматскиот систем. Не постои неопходната врска помеѓу координатниот системи и физичкото движење (или кој било друг аспект на реалноста). Сепак, координатните системи може да го вклучуваат и времето, како се координираат, и може да се користи за да се опише движење. На тој начин, Лоренцовите трансформации и Галилеевите трансформации може да се гледа како координатни трансформации.

Општи и специфични теми од областа на координатни системи може да се постапи и по Види исто така линкот подолу.

Три референтни системи во специјален релативитет. Црна рамка е во мирување. Подготвувачкиот систем на потези во 40% од светлинската брзина двојно се подготвуваат рамка во 80%. Забелешка ножици-како се промени како брзината се зголемува.

Набљудувачкиот референтен систем, често се нарекува како физички референтен систем, систем на упатување, или едноставно систем, е физички концепт што се однесува на набљудувачот кој е во состојба на движење. Тука можеме да го усвоиме мислењето искажано од страна на Кумар и Барве: набљудувачкиот референтен систем е карактеристичен само со својата состојба на движење.[22] Сепак, постои отсуство на едногласност во овој момент. Во специјалната релативност, разликата понекогаш е направена помеѓу набљудувачот и системот. Според ова гледиште, еден систем е набљудувач плус координати решетки изградени за да ортонормално на збирот на просторните вектори нормално на вреенскиот вектор. Ова ограничено гледање не се користи тука, и не е едногласно усвоено дури и во дискусиите на релативитетот.[23][24] Во општата теорија за релативноста употреба на општ координитен систем е заеднички.

Постојат два вида на набљудувачкиот референтен систем: инерцијален и неинерцијален. На инерцијалниот референтен систем е дефиниран како оној  во кој сите закони на физиката преземени од својот наједноставен облик. Во специјалната релативност овие рамки се поврзани со Лоренцовите трансформации, кои се параметрични со брзината. Во Њутновата механика, во повеќе ограничени дефиниции се бара само дека Њутновиот прв закон важи дека Њутновиот инерцилајлен систем е оној во кој слободни честички патуваат во права линија со постојана брзина, или се во мирување. Овие рамки се поврзани со Галилеевите трансформации. Овие релативни и Њутнови трансформации се изразени во простори на општи димензии во однос на претставувања на Поинкаревата група и на Галилеевата група.

Во контраст на инерцијалниот систем, неинерцилајниот референтен систем е оној во кој фиктивните сили мора да бидат повикани за да ги објаснат набљудувањата. Еден пример е набљудувачкиот референтен систен базиран на една точка на површината на Земјата. Овој референтен систем орбитира околу центарот на Земјата, со кој се воведува на фиктивните сили познати како  Кориолицовата сила, центрифугалните сили, и гравитационата сила. (Сите овие сили, вклучувајќи ја и гравитацијата исчезнуваат во вистински инерцијален референтен систем, кој е еден од слободните паѓања.)

Уште еден аспект на референтен систем е улогата на мерачките апарати (на пример, часовници и прачки) во прилог на системот. Ова прашање не е споменето во овој член, и е од особен интерес во квантната механика, каде односот помеѓу набљудувачот и мерењето е се уште под дискусија (види мерачки проблем).

Во физичките експерименти, референтниот систем во која лабораториските мерни уреди се во остатокот, обично се нарекува лабораториски систем. Еден пример би бил системот во кој детекторите за честички се во мирување. Лабораторискиот систем во некои експерименти е инерцилниот систем, но тоа не е потребно да биде (на пример лабораторија на површината на Земјата во многу физички експерименти не е инерцијален). 

Во врска со ова може да се забележи дека часовниците и прачките често се користат за да се опишат набљудувачката мерилна опрема во мислата, во пракса се заменува со многу посложена и индиректна метрологија што е поврзано со природата на вакум, и користи атомски часовници дека работат според стандардниот модел и дека мора да се коригира за гравитационо време на дилатација.[25] (Види втор, метар и килограм).

Уште еден пример[уреди | уреди извор]

Видови[уреди | уреди извор]

Видете исто така[уреди | уреди извор]

Особено рамките на референтната во честа употреба[уреди | уреди извор]

Набљудувачкиот референтен систем[уреди | уреди извор]

Не-inertial рамки[уреди | уреди извор]

Примери за инерцијали референтни системми[уреди | уреди извор]

Координатни системи[уреди | уреди извор]

Всушност, Ајнштајн мислеше дека часовницита и прачките беа само целисходно мерни уреди и тие треба да бидат заменети од повеќе основни субјекти врз основа на, на пример, атоми и молекули.[26]

Забелешки[уреди | уреди извор]

Белешки[уреди | уреди извор]

Различни аспекти на "референтениот систем"[уреди | уреди извор]

  • Тело-фиксно во координантниот систем
  • Простор-фиксно во рамките на референниот систем
  • Инерцијален референтен систем
  • Неинерцијален референтен систем

Едноставен пример[уреди | уреди извор]

Мерачки апарати[уреди | уреди извор]

Слика 1: Два автомобили се движат на различно но со постојани брзини забележани од стационарни инерцијални референтни системи S прилог на патот и да се премести во инерцијален референтен систем S' во прилог на првиот автомобил.

Други рамки[уреди | уреди извор]

Ќе се разгледа ситуација која е честа појава во секојдневниот живот. Два автомобили патуваат на патот, и се движат со постојана брзина. Види Слика 1. Во одреден момент, тие се одделени со метри. Автомобилот во предната позиција на 200 метри во секунда и автомобилот е зад патување на 30 метри во секунда. Ако сакате да дознаете колку долго ќе трае вториот автомобил треба да се израмни со првиот, постојат три очигледни "референтени системи" дека ние може да избереме.

Прво, ние би можеле да набљудуваме два автомобили од страна на патот. Ние го дефинираме нашиот "референтен ситем" S " како што следува. Ние сме на страна на патот и ќе ја започнеме стоперката во точниот момент додека вториот автомобил поминува крај нас, како што се случува за да биде кога тие се на растојание d = 200 м. Бидејќи ниеден од  автомобилите не се забрзува, ние може да ги утврдиме нивните позиции со следниве формули, каде е позиција во метри на првиот автомобил по време t во секунди и која е позицијата на вториот автомобил по времето t.

Забележете дека овие формули се предвидени за t = 0  и првиот автомобил е на 200 метри по патот и вториот автомобил е веднаш позади него, како што се очекуваше. Ние сакаме да се најде на времето во кое х1 = х2. Па ако имаме дека х1 = х2  можеме да го решиме t со оваа формула:

Алтернативно, може да изберете референтен систем S' кој се наоѓа во првиот автомобил. Во овој случај, првиот автомобил е во мирување и вториот автомобил се приближува од позади со брзина од v2 − v1 = 8 m / s. Со цел да се израмни со првиот автомобил, ќе биде потребно некое време и имаме дека  d/v2v1 = 200/8 s, ,а тоа е, 25 секунди, како порано. Имајте на ум дека проблемот станува полесен со избирање на соодветен референтен систем. Третиот возможен референтен систем ќе биде во прилог на вториот автомобил. Овој пример наликува на случај само на дискусија, со исклучок на втор автомобил кој е во мирување и првиот автомобил кој се движи наназад кон него со 8 m / s.


Слика 2: едноставен систем на повикување

На еден едноставен пример се вклучени само ориентациите на двајца набљудувачи, кои сметаат дека две лица стојат, еден спроти друг на двете страни на север и југ на улица. Слика 2. автомобилот поминува покрај нив и тргнува на југ. За лицето кон исток, автомобилот се движи кон десно. Сепак, за лицето на запад, автомобилот се движи кон лево. Ова несовпаѓање е затоа што двете лица користат два различни системи на повикување од кој може да се испита овој систем.

За посложени пример може да се вклучат набљудувачи во релативно движење, според Алфред, кој стојат на страна на патот гледајќи го автомобилот кој се движи покрај нив од лево кон десно. Во својот референтен систем, Алфред го дефинира она место каде што стои како почетна дестинација, како x-оска и насоката пред него како позитивна y-оска. Кон него, се движи автомобилот по должината на x оската со некоја брзина v во позитивната x-насока. Референтниот систем Алфред го смета за инертен референтен систем, бидејќи тој не се забрзува (ефекти како што се ротацијата и гравитацијата на Земјата). 

Сега, според Бетси- лицето кое вози автомобил. Бетси, во изборот на нејзиниот референтен систем, ја дефинира неговата локација како почетна дестинација, во насока на десната како позитивна x-оската, и насоката пред неа како позитивна y-оската. Во овој референтен систем,Бетси е таа која е во мирување а светот околу неа се движи - на пример, кога таа вози накај Алфред, се забележува дека таа се движи со брзина v во негативна Y-насока. Ако таа вози накај север, тогаш север е позитивната Y-насока; ако таа врти накај Исток, тогаш исток станува позитивната Y-насока.

Конечно, како пример на не-инертерални набљудувачи, се претпоставува дека Кендис е забрзувањето на својот автомобил. Како што таа поминува покрај него, Алфред го мери нејзиното забрзување и смета дека треба да биде во негативна x-насока. Забрзувањето, претставено како Кендис е константа, но што претставува забрзување Бетси? Ако брзината V на Бетси е константна, таа е во инертен референтен систем, и таа ќе се најде во забрзување исто како она на Алфред во неговата рамка на референца, во негативна Y-насока. Меѓутоа, ако таа само се зголемува со стапка во негативна Y-насока (со други зборови, забавување), тогаш забрзувањето на Кендис ќе биде '= a - А во негативна Y-насока - ќе има помала вредност од онаа што Алфред ја измерил. Слично на тоа, ако таа само се зголемува со стапка на позитивната Y-насока (забрзување), таа ќе го набљудува забрзувањето на Кендис како '= A + A во негативна Y-насока - и ќе има поголема вредност од мерење на Алфред.

Важно е да се напоменат некои претпоставки дадени погоре за различни интертијали системи на референца. Да претпоставиме дека имате два часовника, кои двајцата функционираат во точно иста стапка. Ак ги синхронизирате нив, така што тие ќе прикажуваат точно во исто време. Двата часовници се сега разделени и едниот часовник е на брз воз, и патува со постојана брзина. Според Њутн, овие два часовници се уште ќе функционираат во иста стапка и ќе и покажуваат исто време. Њутн, вели дека стапката на време како што се мери во една референтен систем треба да биде иста како и стапката на време во другиот . Затоа постои "универзално" време и сите други времиња и во сите други системи на упатување ќе се кандидираат на иста стапка како и ова универзално време, без оглед на нивната позиција и брзина. Овој концепт на времето подоцна беше генерализиран од Ајнштајн со неговата специјална теорија на релативноста (1905) каде што тој разви трансформации помеѓу интертијалните системи на референтната заснована врз универзалната природа на физичките закони и нивната економија на изразување (Лоренцови трансформации).

Исто така е важно да се забележи дека дефиницијата на интертијален референтен систем може да се прошири надвор од три-димензионалниот Еуклидеанов простор. Њутн претпоставува е еден Еукледианов простор, но општиот релативитет користи повеќе општи геометрија. Како пример за тоа зошто ова е важно, ајде да ја разгледаме геометрија на елипсоид. Во оваа геометрија, "слободни" честички се дефинирани како една, во движење во постојана брзина на геодесичен пат. Две слободни честички може да започне во иста точка на површината, да се патува со исти постојана брзина и во различни насоки. По должината на времето, двете честички се судираат на спротивната страна на eлипсоидот. И двете, "слободни" честички патувал со константна брзина, ги задоволува дефиницијата дека нема сили кои дејствуваат. Нема забрзување и така Њутновиот првиот закон се покажа како точно. Ова значи дека честичките беа во интерален систем на референца. Бидејќи немаше сили, тоа беше геометријата на ситуацијата што предизвика две честички да се исполнат едни со други повторно. На сличен начин, тоа е сега вообичаено да се опишеГрешка во наводот: Отворачката ознака <ref> не е добро срочена или има погрешно име. дека ние постоиме во четири-димензионална геометрија позната како временски - простор. Во оваа слика, кривина на овој 4D простор е одговорен за начинот на кој две тела со масовно се подготвуваат заедно, дури и ако нема сили се дејствува. Оваа кривина на временски-простор заменува сила познат како гравитацијата во Њутновата механика и специјалната релативност.

Тука односот помеѓу интералните и не-интералните набљудувачки системи на референца се земат предвид. Основната разлика помеѓу овие рамки е потребата во не-интералните рамки за фиктивни сили, како што е опишано подолу.

Забрзаниот референтен систем често е поделен како "подготвувачки" систем, и сите променливи кои се зависни од таа рамка се на пр. x', y', '.

Вектор од потеклото на интерален референтен систем за потеклото на забрзан референтен систем е најчесто наречен како Р. Дадена точка на интерес кој постои и во двете рамки, вектор од интерално потекло до точка се нарекува r, и вектор од итното потекло до точка се нарекува r'. Од геометријата на ситуацијата, ќе се добие

земањето на првата и втората деривата на ова во однос на времето, добиваме

каде што V и Еден се брзина и забрзување на забрзаниот систем, во однос на интералниот систем и v и еден се брзина и забрзување на точка на интерес во однос на интералниот систем.

Овие равенки овозможуваат трансформации помеѓу два системи кои се координираат; на пример, ние сега може да го знапише вториот Њутнов закон како

Гледано од перспектива на ротирачки референтен систем на инерција се појавува да врши сила (или во центрифугални насока, или во насока ортогонала на објектот кој е во двишење Кориолисова сила).

Општ вид на забрзан референтен систем кој е и ротирачки (пример е референтниот систем прикачен на CD-то кое е пуштено, додека играчот се врши). Овој аранжман доведува до равенката (види Фиктивни сила за деривација):

или, да се реши за забрзување во итната рамка,

Множење преку страна на маса m дава

каде

(Ојлер сила)
(Кориолисова сила)
(центрифугалните сили)
  • Меѓународни Земјата На Референтна Рамка
  • Меѓународни Небесните Референтна Рамка
  • Во флуидната механика, Lagrangian и Eulerian спецификација на протокот поле
  • Рамка полиња во општата релативност
  • Јазичната рамка на упатување
  • Се движат рамка во Математика
  1. The distinction between macroscopic and microscopic frames shows up, for example, in electromagnetism where constitutive relations of various time and length scales are used to determine the current and charge densities entering Maxwell's equations.
  2. In very general terms, a coordinate system is a set of arcs xi = xi (t) in a complex Lie group; see Lev Semenovich Pontri͡agin. L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups (3rd издание). Gordon and Breach. стр. 429. ISBN 2-88124-133-6. https://books.google.com/books?id=JU0DT_wXu2oC&pg=PA429&dq=algebra+%22coordinate+system%22. 
  3. J X Zheng-Johansson; Per-Ivar Johansson (2006). Unification of Classical, Quantum and Relativistic Mechanics and of the Four Forces. Nova Publishers. стр. 13. ISBN 1-59454-260-0. https://books.google.com/books?id=I1FU37uru6QC&pg=PA13&dq=frame+coordinate+johansson. 
  4. Jean Salençon; Stephen Lyle (2001). Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity. Springer. стр. 9. ISBN 3-540-41443-6. https://books.google.com/books?id=H3xIED8ctfUC&pg=PA9&dq=physical+%22frame+of+reference%22. 
  5. Katherine Brading; Elena Castellani (2003). Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge University Press. стр. 417. ISBN 0-521-82137-1. https://books.google.com/books?id=SnmBN64cAdYC&pg=PA417&dq=%22idea+of+a+reference+frame%22. 
  6. Oliver Davis Johns (2005). Analytical Mechanics for Relativity and Quantum Mechanics. Oxford University Press. Chapter 16. ISBN 0-19-856726-X. https://books.google.com/books?id=PNuM9YDN8CIC&pg=PA318&dq=coordinate+observer#PPA276,M1. 
  7. Donald T Greenwood (1997). Classical dynamics (Reprint of 1977 edition by Prentice-Hall издание). Courier Dover Publications. стр. 313. ISBN 0-486-69690-1. https://books.google.com/books?id=x7rj83I98yMC&pg=RA2-PA314&dq=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian#PRA2-PA313,M1. 
  8. Matthew A. Trump; W. C. Schieve (1999). Classical Relativistic Many-Body Dynamics. Springer. стр. 99. ISBN 0-7923-5737-X. https://books.google.com/books?id=g2yfLOp0IzwC&pg=PA99&dq=relativity+%22generalized+coordinates%22#PPA99,M1. 
  9. A S Kompaneyets (2003). Theoretical Physics (Reprint of the 1962 2nd издание). Courier Dover Publications. стр. 118. ISBN 0-486-49532-9. https://books.google.com/books?id=CQ2gBrL5T4YC&pg=PA118&dq=relativity+%22generalized+coordinates%22. 
  10. M Srednicki (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. Chapter 4. ISBN 978-0-521-86449-7. https://books.google.com/books?id=5OepxIG42B4C&pg=PA266&dq=isbn=9780521864497#PPA31,M1. 
  11. Carlo Rovelli (2004). Quantum Gravity. Cambridge University Press. стр. 98 ff. ISBN 0-521-83733-2. https://books.google.com/books?id=HrAzTmXdssQC&pg=PA179&dq=%22relativistic+%22+Lagrangian+OR+Hamiltonian#PPA98,M1. 
  12. William Barker; Roger Howe (2008). Continuous symmetry: from Euclid to Klein. American Mathematical Society. стр. 18 ff. ISBN 0-8218-3900-4. https://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&pg=PA17&dq=geometry++axiom+%22coordinate+system%22#PPA18,M1. 
  13. Arlan Ramsay; Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to Hyperbolic Geometry. Springer. стр. 11. ISBN 0-387-94339-0. https://books.google.com/books?id=UVozmKVh7GsC&pg=PA202&dq=geometry++axiom+%22coordinate+system%22#PPA11,M1. 
  14. According to Hawking and Ellis: "A manifold is a space locally similar to Euclidean space in that it can be covered by coordinate patches.
  15. Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometry of Differential Forms. American Mathematical Society Bookstore. стр. 12. ISBN 0-8218-1045-6. https://books.google.com/books?id=5N33Of2RzjsC&pg=PA12&dq=geometry++axiom+%22coordinate+system%22#PPA12,M1. 
  16. Granino Arthur Korn; Theresa M. Korn (2000). Mathematical handbook for scientists and engineers : definitions, theorems, and formulas for reference and review. Courier Dover Publications. стр. 169. ISBN 0-486-41147-8. https://books.google.com/books?id=xHNd5zCXt-EC&pg=PA169&dq=curvilinear+%22coordinate+system%22#PPA169,M1. 
  17. See Encarta definition.
  18. Katsu Yamane (2004). Simulating and Generating Motions of Human Figures. Springer. стр. 12–13. ISBN 3-540-20317-6. https://books.google.com/books?id=tNrMiIx3fToC&pg=PA12&dq=generalized+coordinates+%22kinematic+chain%22#PPA13,M1. 
  19. Achilleus Papapetrou (1974). Lectures on General Relativity. Springer. стр. 5. ISBN 90-277-0540-2. https://books.google.com/books?id=SWeOggyp1ZsC&pg=PA3&dq=relativistic++%22general+coordinates%22#PPA5,M1. 
  20. Wilford Zdunkowski; Andreas Bott (2003). Dynamics of the Atmosphere. Cambridge University Press. стр. 84. ISBN 0-521-00666-X. https://books.google.com/books?id=GuYvC21v3g8C&pg=RA1-PA84&dq=%22curvilinear+coordinate+system%22. 
  21. A. I. Borisenko; I. E. Tarapov; Richard A. Silverman (1979). Vector and Tensor Analysis with Applications. Courier Dover Publications. стр. 86. ISBN 0-486-63833-2. https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&pg=PA86&dq=coordinate+metric. 
  22. See Arvind Kumar; Shrish Barve (2003). How and Why in Basic Mechanics. Orient Longman. стр. 115. ISBN 81-7371-420-7. https://books.google.com/books?id=czlUPz38MOQC&pg=PA115&dq=%22characterized+only+by+its+state+of+motion%22+inauthor:Kumar. 
  23. For example, Møller states: "Instead of Cartesian coordinates we can obviously just as well employ general curvilinear coordinates for the fixation of points in physical space.…we shall now introduce general "curvilinear" coordinates xi in four-space…."
  24. A. P. Lightman; W. H. Press; R. H. Price; S. A. Teukolsky (1975). Problem Book in Relativity and Gravitation. Princeton University Press. стр. 15. ISBN 0-691-08162-X. https://books.google.com/books?id=YtxGYnnP1PEC&pg=PA15&dq=relativistic++%22general+coordinates%22. 
  25. Richard Wolfson (2003). Simply Einstein. W W Norton & Co.. стр. 216. ISBN 0-393-05154-4. https://books.google.com/books?id=OUJWKdlFKeQC&pg=PA216&dq=%22gravitational+time+dilation+%22. 
  26. See Guido Rizzi; Matteo Luca Ruggiero (2003). Relativity in rotating frames. Springer. стр. 33. ISBN 1-4020-1805-3. https://books.google.com/books?id=_PGrlCLkkIgC&pg=PA226&dq=centrifugal+%22+%22+relativity+OR+relativistic#PPA33,M1.