Поле (физика)

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на: содржини, барај
Величината и правецот на дводимензионално електрично поле кое опколува две еднакво наелектризирани (одбивни) честички. Светлоста ја прикажува величината а бојата ја претставува насоката.
Спротивно наелектризирани (привлекувачки) честички.

Полефизичка величина кое има вредност за секоја точка во просторот и времето.[1]На пример, при временската прогноза, брзината на ветерот е опишана со векторот за секоја точка на картата. Секој вектор ја претставува брзината и насоката на движењето на воздухот во таа точка.

Полето може да се класифицира како скаларно поле, векторско поле, спинорско поле или како тензорско поле во зависност од времто и вредноста на полето во секоја точка е скалар, вектор, спинор или пак тензор. На пример, Њутновото гравитационо поле е векторско поле: за да се одреди вредноста во точка во време-просторот потребни се три броеви, компонентите на гравитационото поле до таа точка. Покрај, категориите (скаларно, векторско, тензорско), полето може да биде и класично поле или пак квантно поле, во зависност од тоа дали е опишано со броеви или пак со квантни оператори.

За полето може да се каже дека се протега низ целиот простор. Во практиката, силата на повеќето полиња се намалува со растојанието до вредности кои не можат да бидат забележани. На пример, во Њутновата теорија за гравитацијата, силата на гравитационото поле е обратнопропорционална со квадратот од растојанието од гравитациониот објект. Затоа пак Земјиното гравитационо поле мошне брзо станува незабележително во космичките пространства.

Определувањето на полето со „броеви во просторот“ не треба да одвлекува од идејата дека истото поседува физичка реалност. „Тоа зафаќа простор. Тоа содржи енергија. Неговото присуство го отстранува вистинскиот вакуум.“[2] Полето создава „условеност во просторот“[3] така што доколку се постави честичка во полето, честичката „чуствува“ сила.

Доколку електричен полнеж се забрза, ефектите на друг полнеж не се појавуваат веднаш. Првиот полнеж чуствува реактивна сила, насобирајќи импулс, но втората честичка не чуствува ништододека е под влијание, патувајќи со брзината на светлината, во моментото кога ја постигнува ја предава на импулсот. Каде е импулсот пред втората честичка да се помести? Според законот за запазување на импулсот мора да е тука некаде. Физичарите ова го користат како „големо олеснување при анализата на силите“[3] ако за истиот сметаат дека е дел од полето.

Оцаа поволност ги наведува физичарите да веруваат дека електромагнетните полиња навистина постојат, со што полето станува концепт, придружна парадигма на целата градба на современата физика. Џон Вилер и Ричард Фајнман сериозно го прифатиле Њутновиот концепт за дејството на растојание (иако го оставиле на страна поради постоечките употреби на полето како концепт во општата релативност и квантната електродинамика).

„Фактот дека електродинамичните полиња можат да поседуваат импулс и енергија е голема реалност... честичката создава поле, и полето дејствува на друга честичка и полето поседува познати својства како енергија и импулс, какво што поседува и честичката“.[3]

Историја[уреди | уреди извор]

За Исак Њутн неговиот закон за сеопфатна гравитација едноставно ја искажувал гравитационата сила која делува на секој пар на масивни објекти. Кога се набљудува движењето на многу тела кои си заемодејствуваат, како што се планетите во Сончевиот систем, справувањето со силите меѓу одделните парови набрзо станува пресметковно неизводливо. Во XVIII век, било развиено нов вид на сметање за сите овие гравитациони сили. Ова сметање се засновало на гравитационото поле, кое ја определувало секоја точка во просторот на коај делува целото гравитационо поле. Ова не ја променило физиката на никаков начин: ова не било важно при пресметувањето на сите гравитациони сили на објектот поединечно па потоа истите да се соберат, или доколку првично се додадат сите придонеси како гравитационо поле и потоа да се применат на објектот.[4]

Развојот на независен концепт за полето навистина започнал во XIX век со развојот на теоријата за електромагнетизмот. На почетокот, Андре Мари Ампер и Шарл Огистен де Кулон можеле да ги користат Њутновите закони за изразување на силите меѓу електричните полнежи или електричните струи. Сепак, станало поприродно да се користат полињата како пристап за да се изразат овие закони преку електричните и магнетните полиња, во 1849 година Мајкл Фарадеј бил првиот кој го употребил поимот „поле“.[4]

Независната природа на полето стнува поочигледна со откритието на Џејмс Кларк Максвел, дека брановите во овие полиња се движат со конечна брзина. Последователно, силите на полнежите и струите не зависат само од местоположбите и брзините на другите полнежи и струи во истовреме, туку и на нивните местоположби и брзини во минатото.[4]

Максвел, најпрво, не го прифатил современиот концепт за полето како основен ентитет кои може да постои независно. Наместо тоа, тој претпоставил дека електромагнетното поле ја изразувало деформацијата преку етерот, на начинсличен на гумената мембрана. Доколку сево оа било вистина, набљудуваната брзина на електромагнетните бранови ќе зависи од брзината на набљудувачот во однос на етерот. Покрај големиот напор, не се нашол ниеден доказ за дека ваков ефект постои, проблемот бил разрешен со воведувањето на специјалната теорија за релативноста од страна на Алберт Ајнштајн во 1905 година. Оваа теорија го сменила начинот на кој гледиштата за подвижните набљудувачи треба да се поврзани еден со друг на таков начин што брзината на електромагнетните бранови во Максвеловата теорија ќе бидат исти за сите набљудувачи. Со отстранувањето на потребата од средина, на овој начин се создал начин физичарите да ги гледаат полињата како независни ентитети.[4]

Во доцните 1920-и, новите правила на квантната механика биле првично применети на електромагнетните полиња. Во 1927 година, Пол Дирак ги искористил квантните полиња за успешно да го објасни начинот на кој атомот со снижување на квантната состојба доведува до спонатно оддавање на фотон, квантот на електромагнетното поле. Подоцна било согледано (од работата на of Паскуал Џордан, Јуџин Вигнер, Вернер Хајзенберг и Волфганг Паули) дека сите честички, вклучувајќи ги и електроните и протоните, можат да се разгледуваат како кванти на некое квантно поле, искачувајќи го статусот на полињата до најосновните објекти во природата.[4]

Класични полиња[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Класична теорија за полето.

Постојат неколку примери за класични полиња. Класичните теории остануваат корисни кога не произлегуваат квантните својства, и можат да бидат активно подрачје на истражување. Еластичноста на материјалите, динамиката на течностите и Максвеловите равенки се токму такви случаи.

Некои од наједноставните физички полиња се векторски полиња. Историски, полињата првпат биле сериозно прифатени од страна на Мајкл Фарадеј како линиите на силата кога истиот ги опишувал електричното поле. Гравитационото поле било опишано на сличен начин.

Њутнова гравитација[уреди | уреди извор]

Во класичната гравитација, масата е изворот на привлечното гравитационо поле g.

Класичната теорија за полето ја опишува гравитацијата како Њутнова гравитација, која ја опишува гравитационата сила како меѓусебно заемодејство меѓу двете маси.

Секое масивно тело M поседува гравитационо поле g со кое се опишува влијанието на другите масивни тела. Гравитационото тело M во точката r во просторот се определува преку силата F која потекнува од M и дејствува на мала маса m со местоположба во r, и поделена со m:[5]

Наведувајќи дека m е многу помало од M осигурува дека присуството на m има незабележително влијание на однесувањето на M.

Според Њутновиот закон за сеопфатна гравитација, F(r) е определен од [5]

каде е единичен вектор кое лежи по должина на линијата која ги поврзува M и m и посечува од m кон M. Затоа пак, гравитационото поле на M е [5]

Опитните набљудувања дека инерцијалната маса и гравитационата маса се еднакви на со невидена прецизност што води кон поистоветување на силата на гравитационото поле да е еднакво на забрзувањето кое го поседува честичката. Ова е основата на начелото за еднаквост, кое води кон општата релативност.

Бидејќи гравитационата сила F се запазува, гравитационото поле g може да се презапише како градиент како скаларна функција, гравитационен потенцијал Φ(r):

Електромагнетизам[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Електромагнетизам.

Мајкл Фарадеј бил првиот кој ја увидел важноста на полето како физички објект, за време на неговите истражувања на магнетизмот. Тој увидел дека електричното и магнетното поле не се само полиња на сила која го опишува начинот на движење на честичките, но исто така има независна физичка реалност порасди преносот на енергија.

Овие идеи во еден момент довеле до создавањето на првата обединувачка теорија за полето во физиката, од страна на Џејмс Клерк Максвел, со запишувањето на равенките за електромагнетното поле. Современата верзија на овие равенки се нарекува Максвелови равенки.

Електростатика[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Електростатика.

Наелектризирана пробна честичка со полнеж q е изложена на сила F заснована само а полнежот. На ист начин може да се опише и електричното поле E така што F = qE. Користејќи го ова и Кулоновиот закон се добива дека електричното поле од единечна честичка е:

Ова електрично поле е запазувачко, и затоа може да се опише со скаларниот потенцијал, V(r):

Магнетостатика[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Мгнетостатика.

Стабилна струја со јачина I движејки се низ проводник со должина ќе дејствува со сила на блиските наелектризирани честички во движење кои се различни од силата на полињата опишани погоре. Силата со која дејствува I на блискиот полнеж q со брзина v е:

каде B(r) е магнетното поле, кое пак е определено од I преку Био-Саваровиот закон:

Општо гледано магнетното поле не се запазува, и поради тоа не може да се запише како скаларен потенцијал. Сепак, м,оже да се запише како векторски потенцијал, A(r):

E полиња со своите неподвижни полнежи и B полињата со своите неподвижни магнетните полнежи (во природата не постојат монополи С и Ј). При движењето (брзината v), и електричниот полнеж создаваат B поле додека пак 'магнетните полнежи (ги нема во природата) ќе создадат E поле. Се користи секојдневна електрична струја.
Горе: E поле создадено од електричен диполен момент d. Доле лево: B поле создадено од математички магнетен дипол m создаден од два магнетни монополови. Доле десно: B поле создадено од само од магнетен диполен момент m кои се сретнува во обичната материја (не е монополови).

Електродинамика[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Електродинамика.

Воопшто, iво присуство на двата полнежи со густина ρ(r, t) и густината на струјата J(r, t), ќе постојат истовремено електрично и магнетно поле, и двете ќе се менуваат со текот на времето. Тие се определени од Максвеловите равенки, кои се збир од дифертенцијални равенки кои се директно поврзани со E и B со ρ и J.[8]

Поинаку, истото може да се опише преку скаларните и векторските потенцијали V и A. Збир од равнки познати како ретардирани потенцијали со кои се пресметува V и A преку ρ и J,[note 1] and from there the electric and magnetic fields are determined via the relations[9]

На крајот од XIX век, на електромагнетното поле се гледало како збир од две векторски полиња во просторот. Денес, се знае дека станува збор за единствено второстепено тензорско поле во време-просторот.

Гравитацијата во општата релативност[уреди | уреди извор]

Во општата релативност, масата-енергијата го закривува време-просторот (Ајнштајнов тензор G),[10] и вртливите асиметрични масовито-енергетски распределби со аголниот импулс J создаваат ГЕМ полиња H[11]

Ајнштајновата теорија за гравитација, наречена општа релативност, е друг пример за теорија за полињата. Овде начелното поле е метричкиот тензор, симетрично второстепено тензорско поле во време-просторот. Со ова се заменува Њутновиот закон за сеопфатна гравитација.

Брановите како полиња[уреди | уреди извор]

Брановите можат да се разгледуваат како физички полиња, поради нивната конечна брзина при движењето и природата на запазувањето кога е воведен физички модел се претставени како збир на изолирани затворени системи. Истите се под влијание на обратнопропорционалниот квадратен закон.

За електромагнетните бранови, постојат оптички полиња, и поими како блиско и далечно поле ограничувања за дифракцијата. Во практиката, преку теориите за полињата, теориите за оптиката се потиснати од Максвеловата електромагнетната теорија за полиња.

Квантни полиња[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Теорија за квантните полиња.

Денес се верува дека квантната механика треба да ги опфати сите физички појави, па така да класичната теорија за полето треба, да се презапише со употреба на квантните механизми, што на крај би резултирало во теорија за квантните полиња. На пример, квантифицирањето и класичната електродинамика ни ја даваат квантната електродинамика. Квантната електродинамика е најуспешната научна теорија, податоците добиени од опитите ги потврдуваат предвидувањата на теоријата со голема прецизност (до мошне значителни вредности) отколку која и да е друга теорија.[12] Другите две основни теории за квантните полиња се квантната хромодинамика и електрослабата теорија.

Полињата добиени поради бојните полнежи, како кај кварковите (G е глуонскиот тензор на јачина на полето). Станува збор за „безбојни“ комбинации. Горе: Бојниот полнеж поседува „три неутрални состојби“ како и двојна неутралност (како кај електричниот полнеж). Доле: Комбинации на кварк/антикварк.[6][7]

Во квантната хромодинамика, обоените линии на полето се поврзани на куси растојанија од глуоните, кој пак се поларизирани од полето и се подредуваат во истото. Овој ефект се зголемува на куси растојанија (околу 1 фм од кварковите) со што силата на обоеноста се зголемува на кусо растојание, запазувањето на кварковите во хадроните. Како што линиите на полето се привлечени силно од глуоните, тие не се „закривуваат“ нанадвор колку што би се закривувало полето меѓу електричните полнежи.[13]

Овуие три теории за квантните полиња може да се сметаат како специјални случаи на стандардниот модел на физиката на честичките. Општата релативност, Ајнштајновата теорија за гравитационите полиња, потребно е успешно да се квантифицира. Сепак продолжение на теоријата, топлинска теорија за полето, се справува со квантните полиња при конечни температури, нешто што ретко се смета за теорија ан квантните полиња.

Во БРСТ-овата теорија се сретнуваат чудни полиња, на пример. Фадеев-Попови духови. Постојат различни описи за чудните класични полиња истовремено и на градираните многуобразија и суперобразијата.

Како и со класичните полиња, можно е да се пристапи со чисто математичко гледиште кон нивните кванти претставници користејќи веќе докажани техники. Равенките кои владеат со квантните полиња се всушност парцијални диференцијални равенки (поточно, релативистички бранови равенки). Па затоа може да се каже дека Јанг–Милс, Дирак, Клајн–Гордон и шредингеровите полиња се решенија на соодветните равенки. Можен проблем е дека овие релативистички равенки можат да се справуваат со сложени математички објекти со егзотични алгебарски својства (на пример спинорите не се тензори, па затоа е потребна математика за спинорни полиња), но во теоријата овие равенки можат да се подвргнат на аналитичките методи од соодветните математички генерализации.

Теории за полињата[уреди | уреди извор]

Теоријата за полињата е физичка теорија која опишува како едно или повеќе полиња заемодејствуваат со материјата.

Теоријата за полињата вообичаено се однесува за опишувањето на динамиката на полето, т.е. начинот на кој полето се менува со текот на времето или во однос на на останататите независни физички променливи од кои пак зависи самото поле. Вообичаено ова се прави со запишување на лагранжијанот или пак хамилтонијанот на полето, при што се зема како да станува збор за класична мехника (или квантна механика) за систем со бесконечен број на степени на слобода. Добиените теории за полињата се сметаат за класични или квантни теории за полињата.

Динамиката на класичните полиња се вообичаено одредени од лангранжијанската густина во однос на компонентите на полето, динамиката може да се добие со користење на начело на дејство.

Можно е да се конструира едноставно поле без претходно познавање на физиката користејќи само математички методи од анализа со неколку променливи, теоријата на потенцијали и парцијалните диференцијални равенки. На пример, скаларните парцијални диференцијални равенки може да се користат за пресметување на величини како замав, густината и притисокот на полињата за бранвата равенка и динамиката на течностите, температурата/концентрациионите полиња за топлина/дифузни равенки. Надвор од познатата физика (на пример, радиометријата и сметачката графика), постојат и светлосни полиња. Сиве овие претхоидни примери се скаларни полиња. Слично и за векторите, векторски парцијални диференцијални равенки за поместувањето, брзинските и вртложните полиња во (применета математика) динамиката на течностите, но ќе биде потребна векторска математика за векторските полиња (како што се овие три векторски величини, а и ошто оние на парцијалните диференцијални равенки). Воопшто проблемите во механиката на континуумот може да вклучуваат и на пример, насочени еластичности (од кои потекнува поимот тензор, добиен од латинскиот збор за растегливост), сложените течности или анизотропна дифузија, кои се ограничени како матрични тензорски парцијални диференцијални равенки, и потребни се матрици или тензорски полиња, или матрици или тензорска анализа. Треба да се земе во предвид дека скаларите (а со тоа и векторите, матриците и тензорите) можат да бидат реални или комплексни бидејќи и двете се полиња во апстракната-алгебарска/прстенесто теориска смисла.

Боопшто, класичните полиња се опишани по делови од пакети, а нивната динамика се опишува со поимите на млазни многуобразија (коваријантна класична теорија за полето).[14]

Во современата физика, најчесто проучувани полиња се оние кои се добиени од четирите основни сили што еден ден би довело до теорија за сè.

Симетрија на полињата[уреди | уреди извор]

Добар начин за класификација на полињата (класични или квантни) е според симетриите кој ги поседува полето. Физичките симетриисе претежно од два вида:

Време-просторни симетрии[уреди | уреди извор]

Полињата честопати се класифицирани според нивното однесување под дејство на време-просторот. Поимите кои се користеат при ваквата класификација се:

  • скаларни полиња (како што е темепературата) чии вредности се определени од една променлива во секоја точка во просторот. Оваа вредност не се менува кога имаме пробразба на просторот.
  • векторски полиња (како штое величината и насоката на силата во секоја точка на магнетното поле) кои се определени од вектор во секоја точка од просторот. Компонентите на оваа векторска преобразба меѓу самите вектори е вообичаеена при вртењата во просторот.
  • тензорски полиња, (како што е тензорот на напрегањето на кристалот) определен од тензор во секоја точка од просторот. Компонентите на тензорот се преобразуваат меѓусебно при вртења во просторот.
  • спинорни полиња (како што е Дираковиот спинор) се сретнуваат во теоријата на квантните полиња за да се опишат честичките со спин кој се пробразува како вектори, но со исклучок на една компонента, со други зборови кога се завртува векторско поле за 360 степени околу одредена оска, векторското поле се завртува за самото поле, додека пак спинорите се завртуваат во нивните негативни вредности.

Внатрешни симетрии[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Месна симетрија.

Полињата можат да поседуваат покрај време-просторните симетрии може да оседуваат и внатрешни симетрии. На пример, во многу ситуации потреби се полиња кои се список од време-просторни скалари: (φ1, φ2, ... φN). На пример, при предвидувањето на временската прогноза станува збор за температурата, притисокот, влажноста, и.т.н. Во физиката на честичките, симетријата на бојата на заемодејството на кварковите е пример за внатрешна симетрија на силното заемодејство, како што се и изоспиновата или вкусовата симетрија.

Ако проблемот има симетрија, без присуство на време-просторот, под чие влијание овие компоненти се пробразуваат една во друга, тогаш овој збир на симетрии се нарекува внатрешна симетрија. Некои и класификацијата на полнежите на полињата ја сметаат за дел ов внатрешната симетрија.

Статистичка теорија за полето[уреди | уреди извор]

Crystal Clear app xmag.svg Главна статија: „Статистичка теорија за полето.

Статистичката теорија за полето се обидува да ја проширит парадигмата за теоријата на полињата кон повеќе-теловитите системи и статистичката механика. Од погоре, може да се пристапи со вообичаениот бесконелчен број на степени на слобода.

Какошто и статистичката механика има преклопување со квантната и класичната механика, статистичката теорија за полето има поврзаност со квантната и класичната теорија за полето, осовбено со класичната со која споделува доста методи. Еден важен пример е главната теорија за полето.

Непрекинати случајни полиња[уреди | уреди извор]

Класичните полиња споменати погоре, на пример како електромагнетното поле, се најчесто бесконечно диференцијабилни функции, но во сите случаи тие се секогаш двојно диференцијабилни. За споредба, општите функции се прекинати. Кога се работи за класичните полиња при конечни температури, се користат математичките методи за случајни полиња, бидејќи топлинските промени кај класичните полиња не се диференцијабилни. Случајните полиња се показателни збирови од случајни променливи, непрекинато случајно поле кое има збир од функции како показателен збир. Честопати, позгодно е математички да се земе непрекинато случајно поле во Шварцов простор од функции како показателен збир, во тој случај непрекинатото случајно поле е одредена дистрибуција.

Може да се замисли непрекинатото случајно поле, на (многу) груб начин, како обична функција со запис која се протега насекаде, но таква кога кога би се земала средна вредност од сите бесконечности над некој конечен простор, добива конечен резултат. Бесконечностите не се добро определени, но конечните вредности можат да се поврзат со функциите кои се користат како мерни функции за да се добијат конечни вредности, и на тој начин истите се добро определени. Може да се определи непрекинато случајно поле Weсо користење на линиска карта на просторот како функции од реални броеви.

Математика на полињата[уреди | уреди извор]

На проблемот на континуумот (оттука и поимот „поле“) му се пристапува со тоа што на системот му се дозволуваат бесконечен број на степени на слобода. Димензијата на векторската обична диференцијална равенка е само димензија од векторот на зависната променлива, или пак на векторската функција. Во оваа смисла парцијалните диференцијални равенки може да се сметаат за (пар) обични диференцијални равенки со бесконечни димензии (математичко гледиште на степените на слобода).[15] Во продолжение, векторските полиња кои се наречени насочени полиња се важни алатки за анализа на резултатите од обичните диференцијални равенки (Погледајте фазна рамнина).

Точната природа на објектот (и неговите аргументи) во диференцијалната равенка (на пример реален скалар, комплексна матрица, Евклидов вектор или четиривектор и.т.н.) го одредува видот на анализата која е потребна (во споменатите примери – станува збор за единелна променлива, комплексна матрица и реални векторски полиња).

Покрај парцијалните диференцијални равенки, другите делови од (класичната) реална анализа и комплексна анализа се или инспирирани од или имаат техники кои се применети теоријата на полињата. Примери за вакви области се спектралната теорија и хармониската анализа (вибрации и бранови) или пак теоријата за потенцијалот, кои сега се одделни математички предмети. Но можеби најизразени примери се варијационото сметање (кое е поврзано со лагранжијанскиот и хамилтонскиот формализам) и анализата на повеќе променливи со своите воопштувања диференцијала геометрија – која ги вклучува тензорското сметање и баждарната теорија и на нејзе блиската теорија диференцијална топологија.

Поврзано[уреди | уреди извор]

Забелешки[уреди | уреди извор]

  1. Ова е случај при правилен избор на баждарењето. V и A не се целосно определени од ρ и J, туку, тие се само определени од скаларната функција f(r, t) позната како баждарна функција. Формализмот на ретардираните потенцијали побарува да се избере Лоренцовиот Баждар.

Наводи[уреди | уреди извор]

  1. John Gribbin (1998). Q is for Quantum: Particle Physics from A to Z. London: Weidenfeld & Nicolson. стр. 138. ISBN 0-297-81752-3. 
  2. John Archibald Wheeler (1998). Geons, Black Holes, and Quantum Foam: A Life in Physics.. London: Norton. стр. 163. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Richard P. Feynman (1963). Feynman's Lectures on Physics, Volume 1.. Caltech. стр. 2–4.  Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „Feynman“ е зададен повеќепати со различна содржина.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Weinberg, Steven. The Search for Unity: Notes for a History of Quantum Field Theory. „Daedalus“ том  106 (4): 17–35. 
  5. 5,0 5,1 5,2 Kleppner, David; Kolenkow, Robert. An Introduction to Mechanics. стр. 85. 
  6. 6,0 6,1 Parker, C.B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd издание). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-051400-3. 
  7. 7,0 7,1 M. Mansfield, C. O’Sullivan (2011). Understanding Physics (4th издание). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-47-0746370. 
  8. Griffiths, David. Introduction to Electrodynamics (3rd издание). стр. 326. 
  9. Wangsness, Roald. Electromagnetic Fields (2nd издание). стр. 469. 
  10. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0. 
  11. I. Ciufolini and J.A. Wheeler (1995). Gravitation and Inertia. Princeton Physics Series. ISBN 0-691-03323-4. 
  12. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). An Introduction to Quantum Fields. Westview Press. стр. 198. ISBN 0-201-50397-2 . Also see precision tests of QED.
  13. R. Resnick, R. Eisberg (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd издание). John Wiley & Sons. стр. 684. ISBN 978-0-471-87373-0. 
  14. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. (2009) Advanced Classical Field Theory. Singapore: World Scientific, ISBN 978-981-283-895-7 (arXiv: 0811.0331v2)
  15. Nonlinear Dispersive Equations: Local And Global Analysis, Terence Tao.

Надворешни врски[уреди | уреди извор]