Отворени и затворени пресликувања

Во математиката, или поточно во топологијата, отворено пресликување е функција помеѓу два тополошки простора кое пресликува отворени множества во отворени множества.^[1]^[2]^[3] Тоа значи, пресликување $f:X\to Y$ е отворено ако за кое било отворено множество $U$ во $X,$ сликата $f(U)$ е отворено множество во $Y.$ Слично на тоа, затворено пресликување е функција која пресликува затворени множества во затворени множества.^[3]^[4] Пресликувањето може да биде отворено, затворено, и отворено и затворено или ниту отворено ниту затворено;^[5] посебно, отворено пресликување не мора да биде затворено и обратно.^[6]

Отворените^[7] и затворените^[8] пресликувања не се нужно непрекинати.^[4] Понатаму, непрекинатоста е независна од отвореноста и затвореноста во општ случај и непрекината функција може да има едно, обете или ниту едно од овие својства;^[3] овој факт останува вистинит дури и ако се ограничиме само на метрички простори.^[9] Иако нивните дефиниции изгледаат поприродни, отворените и затворените мапи се многу помалку важни од непренинатите пресликувања. Потсетете се дека, по дефиниција, функцијата $f:X\to Y$ е континуирано ако инверзната слика на секое отворено множество од $Y$ е отворено во $X.$ ^[2] (Еквивалентно, ако инверзната слика на секое затворено множество од $Y$ е затворено во $X$ ).

Раното проучување на отворените пресликувања го започнале Симион Стоилов и Гордон Томас Вајбурн.^[10]

Дефиниции и карактеризации

Ако $S$ е подмножество од тополошки простор, тогаш со ${\overline {S}}$ и $\operatorname {Cl} S$ (соодветно $\operatorname {Int} S$ ) се означува затворачот (соодветно внатрешноста) на $S$ во тој простор. Нека $f:X\to Y$ е функција помеѓу тополошки простори. Ако $S$ е кое било множество, тогаш $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ се нарекува слика на $S$ при $f.$

Конкурентни дефиниции

Постојат две различни, но тесно поврзани дефиниции на поимот „отворено пресликување“ кои се широко користени. Притоа, обете дефиниции може да се сумираат како: „тоа е пресликување со кое отворени множества се пресликуваат во отворени множества“. Понекогаш се користи следнава терминологија за да се направи разлика помеѓу двете дефиниции.

Едно пресликување $f:X\to Y$ се нарекува отворено пресликување или силно отворено пресликување ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:

„строго отворено пресликување“ ако за секое отворено множество $U$ во доменот $X$ , неговата слика $f(U)$ е отворено множество во кодоменот на $f$ , $Y.$
„рeлaтивно oтворено пресликување" ако за секое отворено множество $U$ во доменот $X$ , множеството $f(U)$ е отворено во сликата на $f,$ $\operatorname {Im} f:=f(X),$ каде вообичаено ова множество е опремено со топологијата на потпросторот индуцирана на него од кодоменот на $f,$ $Y.$ ^[11]

Секое силно отворено пресликување е релативно отворено. Сепак, овие дефиниции не се еквивалентни во општ случај.

Предупредување: Многу автори го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ релативно отворено пресликување“ (на пример, во Енциклопедија на математиката), додека други го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ силно отворено пресликување“. Генерално, овие дефиниции не се еквивалентни, па затоа е препорачливо секогаш да се провери која дефиниција за „отворено пресликување“ ја користи авторот.

Сурјективно пресликување е релативно отворено ако и само ако е силно отворено; па за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, пресликување $f:X\to Y$ е релативно отворено ако и само ако сурјекцијата $f:X\to f(X)$ е силно отворено пресликување.

Бидејќи $X$ е секогаш отворено множество во $X,$ сликата $f(X)=\operatorname {Im} f$ на силно отворено пресликување $f:X\to Y$ мора да биде отворено подмножество од неговиот кодомен $Y.$ Всушност, релативно отворено пресликување е силно отворено пресликување ако и само ако нејзината слика е отворено подмножество на нејзиниот кодомен. Накратко,

Пресликување е силно отворено ако и само ако е релативно отворени и неговата слика е отворено подмножество на неговиот кодомен.

Со користење на оваа карактеризација, честопати е едноставно да се применат резултатите што вклучуваат една од овие две дефиниции за „отворено пресликување“ во ситуација што ја вклучува другата дефиниција.

Горенаведената дискусија ќе важи и за затворените пресликувања ако секаде зборот „отворено“ се замени со зборот „затворено“.

Отворени пресликувања

Пресликување $f:X\to Y$ се нарекува релативно затворено пресликување ако секое затворено множество $C$ од доменот $X$ , се пресликува во $f(C)$ кое е затворено множество во неговиот кодомен $Y.$

Дефиниција: $f:X\to Y$ ги пресликува отворените множества од својот домен во отворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество $U$ вo $X$ , $f(U)$ е отворено множество вo $Y.$
$f:X\to Y$ е релативно отворено пресликување и неговата слика $\operatorname {Im} f:=f(X)$ е oтворено множество во неговиот кодомен $Y.$
За секој $x\in X$ $x\in X$ и секоја околина $N$ $N$ на $x,$ $x,$ $f(N)$ $f(N)$ е околина на $f(x).$ $f(x).$ Ако во претходниот услов се замени првиот или двата збора „околина“ ги замениме со „отворена околина“, се добива еквивалентен услов:
- За секој $x\in X$ и секоја отворена околина $N$ на $x,$ $f(N)$ е околина на $f(x).$
- За секој $x\in X$ и секоја отворена околина $N$ на $x,$ $f(N)$ е отворена околина на $f(x).$
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ за сите подмножества $A$ на $X,$ кадe со $\operatorname {Int}$ ја означуваме тoпoлошката внатрешност на множеството.
Ако $C$ $C$ е затворено подмножество на $X,$ $X,$ тогаш множеството $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ е затворено подмножество на $Y.$ $Y.$
- Ова е последица на идентитетот $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ кој важи за секое $R\subseteq X.$

Ако ${\mathcal {B}}$ е база на $X$ тогаш на оваа листа може да се додаде следниов услов:

$f$ ги пресликува базните отворени множества во отворени множества од неговиот кодомен (т.е. за кое било отворено множество од базата $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ е отворено множество во $Y$ ).

Затворени пресликувања

Пресликување $f:X\to Y$ се нарекува затворено пресликување или силно затворено пресликување ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:

Сурјективно пресликување е релативно затворено ако и само ако е силно затворено. Затоа, за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, едно пресликување $f:X\to Y$ е релативно затворено ако и само ако сурјекцијата $f:X\to f(X)$ е силно затворено пресликување.

Дефиниција: Со $f:X\to Y$ секое затворено множество од неговиот домен го пресликува во затворено множество од неговиот кодомен, т.е. за секое затворено множество $C$ oд $X,$ $f(C)$ е затворено множество вo $Y.$
$f:X\to Y$ е релативно затворено пресликување и неговата слика $\operatorname {Im} f:=f(X)$ е затворено множество во неговиот кодомен $Y.$
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ за секое подмножество $A\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ за секое затворено множество $C\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}=f(C)$ за секое затворено множество $C\subseteq X.$
Ако $U$ е отворено множество во $X$ , тогаш множеството $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ е отворено множество во $Y.$
Ако $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ е мрежа во $X$ $X$ и $y\in Y$ $y\in Y$ е точка за која $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ во $Y,$ $Y,$ тогаш $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ конвергира во $X$ $X$ кон множеството $f^{-1}(y).$ $f^{-1}(y).$
- Конвергенцијата $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ значи дека секое е отворено множество во $X$ кое го содржи $f^{-1}(y)$ ќе го содржи $x_{j}$ за сите доволно големи индекси $j.$

Ако пресликувањето е континуирано, тогаш горенаведениот услов е неопходен и за пресликувањето да биде отворено. Тоа значи, ако $f:X\to Y$ е континуирана сурјекција, тогаш таа е отворено пресликување ако и само ако е речиси отворена и го задоволува горенаведениот услов.

Ако во дефиницијата за отворено множество за „непрекинато пресликување“ (тоа е исказот: „инверзната слика на секое отворено множество е отворено множество“), обете инстанци на зборот „отворено“ се заменуваат со „затворено“, тогаш исказот за резултатите („инверзната слика на секое затворено множество е затворено множество“) е еквивалентна на непрекинатоста на пресликувањето. Ова не е случај со дефиницијата за „отворено пресликвање“ („слика на секое отворено множество е отворено множество“) бидејќи исказот што произлегува („слика на секое затворено множество е затворено множество“) е дефиницијата за „затворена мапа“, што генерално не е еквивалентно на отвореноста на пресликувањето. Постојат отворени пресликувања кои не се затворени, а постојат и затворени пресликувањето кои не се отворени. Оваа разлика помеѓу отворени/затворени пресликувања и непрекинати пресликувања во крајна линија се должи на фактот дека за кое било множество $S,$ само инклузијата $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ е секогаш точна, додека кај инверзните пресликувања важи и обратната инклузија, т.е. секогаш важи равенството $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ .

Дефиниции и карактеризации

Ако $S$ е подмножество од тополошки простор, тогаш нека ${\overline {S}}$ и $\operatorname {Cl} S$ (соодветно $\operatorname {Int} S$ ) означува затворач (односно внатрешност) на $S$ во тој простор. Нека $f:X\to Y$ е функција помеѓу тополошки простори. Ако $S$ е кое било множество тогаш $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ се нарекува слика на $S$ при $f.$

Конкурентни дефиниции

Постојат две различни конкурентни, но тесно поврзани дефиниции за „ отворено пресликување“ кои широко се користат, а обете дефиниции можат да се сумираат како: „тоа е пресликување со кое отворени множества се пресликуваат во отворени множества“. Следната терминологија понекогаш се користи за да се направи разлика помеѓу двете дефиниции.

Пресликувањето $f:X\to Y$ се нарекува

„Строго отворено пресликување“ ако за секое отворено множество $U$ на доменот $X$ , $f(U)$ е отворено множество во кодоменот $Y.$
„Рeлaтивно отворено пресликување" ако за секое отворено множество $U$ на доменот $X$ , $f(U)$ е отворено множество во сликата $\operatorname {Im} f:=f(X),$ каде, како вообичаено, ова множество е опремено со наследената топологија индуцирана од онаа на кодоменот на $f$ - $Y.$ ^[11]„

Секое силно отворено пресликување е релативно отворено пресликување. Сепак, овие дефиниции не се еквивалентни во општ случај.

Предупредување: Многу автори го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ релативно отворено пресликување“ (на пример, Енциклопедијата за математика), додека други го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ силно отворено пресликување“. Општо земено, овие дефиниции не се еквивалентни, па затоа е препорачливо секогаш да се провери која дефиниција за „отворено пресликување“ ја користи авторот.

Сурјекцијата е релативно отворено ако и само ако е силно отворено; па за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, пресликувањето $f:X\to Y$ е релативно отворено ако и само ако $f:X\to f(X)$ е суркцијата и силно отворено пресликување.

Бидејќи $X$ е секогаш отворено подмножество од $X,$ сликата $f(X)=\operatorname {Im} f$ на силно отворено пресликување $f:X\to Y$ мора да биде отворено подмножество од неговиот кодомен $Y.$ Всушност, релативно отворено пресликување е силно отворено пресликување ако и само ако нејзината слика е отворено подмножество од нејзиниот кодомен. Накратко,

пресликување е силно отворено ако и само ако е релативно отворено и нејзината слика е отворено подмножество на нејзиниот кодомен.

Со користење на оваа карактеризација, честопати е едноставно да се применат резултатите што вклучуваат една од овие две дефиниции за „отворено пресликување“ во ситуација што ја вклучува другата дефиниција.

Горенаведената дискусија ќе важи и за затворени пресликувања ако во секоја инстанца зборот „отворено“ се замени со зборот „затворено“.

Отвори пресликувања

Пресликување $f:X\to Y$ се нарекува отворено пресликување или силно отворено пресликување ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:

Дефиниција: $f:X\to Y$ пресликува отворени множество од неговиот домен во отворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество $U$ oд $X$ , $f(U)$ е отворено во $Y.$
$f:X\to Y$ е релативно отворено пресликување и неговата слика $\operatorname {Im} f:=f(X)$ е отворено множество во неговиот кодомен $Y.$
За секој $x\in X$ $x\in X$ и секоја нејзина околина $N$ $N$ (произволно мала), $f(N)$ $f(N)$ е околина на $f(x)$ $f(x)$ . Може да ја замениме првата или двете појавувања на зборот „околина“ со „отворена околина“ во овој услов и резултатот ќе биде еквивалентниот услов:
- за секој $x\in X$ и секоја отворена околина $N$ на $x$ , $f(N)$ е околина на $f(x)$ .
- за секој $x\in X$ и секоја отворена околина $N$ на $x$ , $f(N)$ е отворена околина на $f(x)$ .
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ за секое подмножество $A$ на $X,$ кадe $\operatorname {Int}$ означува тополошка внатрешност на множеството.
Кога $C$ $C$ е затворено множество во $X$ $X$ , тогаш множеството $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ е затворено множество во $Y.$ $Y.$
- Ова е последица на идентитетот $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ кој важи за секое подмножество $R\subseteq X.$

Ако ${\mathcal {B}}$ е база за $X$ , тогаш следново својство може да се додаде на горната листа:

$f$ го пресликува секое отворено множество од базата во отворено множество од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество од базата $B\in {\mathcal {B}},$ множеството $f(B)$ е отворено множество во $Y$ ).

Затворени пресликувања

Пресликувањето $f:X\to Y$ се нарекува рeлaтивно затворено пресликување ако за секое затворено множество $C$ од доменот $X$ , $f(C)$ е затворено множество во сликата $\operatorname {Im} f:=f(X),$ каде, како вообичаено, ова множество е опремено со наследената топологија индуцирана од онаа на кодоменот на $f$ - $Y.$ ^[11]„

Мапа $f:X\to Y$ се нарекува затворено пресликување или силно затворено пресликување ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:

Дефиниција: $f:X\to Y$ пресликува затворени множество од неговиот домен во затворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое затворено множество $C$ oд $X$ , $f(C)$ е затворено во $Y.$
$f:X\to Y$ е релативно затворено пресликување и неговата слика $\operatorname {Im} f:=f(X)$ е затворено множество во неговиот кодомен $Y.$
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ за секое подмножество $A\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ за секое затворено подмножество $C\subseteq X.$
Кога $U$ е отворено множество во $X$ , тогаш множеството $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ е отворено множество во $Y.$
Ако $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ е мрежа во $X$ $X$ и $y\in Y$ $y\in Y$ е точка таква што $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ во $Y,$ $Y,$ тогаш $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ кoнвeргира во $X$ $X$ кон множеството $f^{-1}(y).$ $f^{-1}(y).$
- Конвергенцијата $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ значи дека секое отворено множество вo $X$ кое го содржи $f^{-1}(y)$ ќе го содржи $x_{j}$ за сите доволно големи индекси $j.$

Сурјективното пресликување е силно затворено ако и само ако е релативно затворено. Значи, за овој важен посебен случај, двете дефиниции се еквивалентни. По дефиниција, пресликувањето $f:X\to Y$ е релативно затворено пресликување ако и само ако суркцијата $f:X\to \operatorname {Im} f$ е силно затворено пресликување.

Ако во дефиницијата за непрекинато пресликување со отворени множества (исказот: „секоја претслика од отворено множество е отворена“), обете инстанци на зборот „отворено“ се заменуваат со „затворено“, тогаш исказот за резултатите („секоја претслика од затворено множество е затворена“) е еквивалентна на непрекинатост. Ова не се случува со дефиницијата за „отворено пресликување“ („секоја слика од отворено множество е отворена“) бидејќи исказот што резултира („секоја слика од затворено множество е затворена“) е всушност дефиницијата за „затворено пресликување“, што генерално не е еквивалентно на отвореност. Постојат отворени пресликувања кои не се затворени и постојат и затворени пресликувања кои не се отворени. Оваа разлика помеѓу отворени/затворени пресликувања и непрекинати пресликувања во крајна линија се должи на фактот дека за кое било множество $S,$ само $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ важи во општ случај, додека за инверзните слики секогаш важи равенството $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ .

Примери

Функцијата $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ дефинирано со $f(x)=x^{2}$ е непрекината, затворена и релативно отворена, но не е (силно) отворена. Ова е затоа што ако $U=(a,b)$ е кој било отворен интервал во $\mathbb {R}$ - доменот на $f$ што не ја содржи нулата, тогаш $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ каде што овој отворен интервал е отворено множество и во $\mathbb {R}$ и во $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ Сепак, ако $U=(a,b)$ е кој било отворен интервал во $\mathbb {R}$ што ја содржи нулата, тогаш $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ што не е отворено множество во $\mathbb {R}$ - кодоменот на $f,$ но е отворено множество во $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ Бидејќи множеството од сите отворени интервали во $\mathbb {R}$ е база за Евклидовата топологија на $\mathbb {R} ,$ ова покажува дека $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ е релативно отворено, но не е (силно) отворено.

Ако $Y$ има дискретна топологија (т.е. сите подмножества се и отворени и затворени), тогаш секоја функција $f:X\to Y$ е и отворена и затворена (но не мора да значи дека е непрекината). На пример, функцијата „цел дел“ од $\mathbb {R}$ во $\mathbb {Z}$ е и отворено и затворено пресликување, но не е непрекинато. Овој пример покажува дека сликата од сврзан простор при отворено или затворено пресликување не мора да биде сврзано множество.

Секогаш кога имаме производ од тополошки простори ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ природните проекции $p_{i}:X\to X_{i}$ се отворени ^[12]^[13] (како и непрекинати). Бидејќи проекциите на сноповите од влакна и покривањата се локално природни проекции на производи, и тие се отворени пресликувања. Сепак, проекциите не мора да бидат затворени. На пример, да ја разгледаме проекцијата $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ на првата компонента. Множеството $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ е затворено во $\mathbb {R} ^{2},$ но $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ не е затворено во $\mathbb {R} .$ Сепак, за компактен простор $Y,$ проекцијата $X\times Y\to X$ е затворено пресликување. Ова е во суштина лемата на цевка (туба).

Секоја точка од единичната кружница можеме ја пресликаме во аголот кој позитивниот дел на $x$ - оската го зафаќа со зракот (полуправата) што ја поврзува точката со координатниот почеток. Оваа функција од единичната кружница на полуотворениот интервал [0,2π) е биекција, отворено и затворено пресликување, но не е континуирана. Тоа покажува дека сликата на компактен простор при отворено или затворено пресликување не мора да биде компактна. Исто така, забележете дека ако го сметаме ова како функција од единичната кружница во реалните броеви, тогаш таа не е ниту отворена ниту затворена. Одредувањето на кодоменот е од суштинско значење.

Доволни услови

Секој хомеоморфизам е отворено, затворено и континуирано пресликување. Всушност, биективно континуирано пресликување е хомеоморфизам ако и само ако е отворено, или еквивалентно, ако и само ако е затворено.

Нека $f:X\to Y$ е пресликување. За произволно дадено подмножество $T\subseteq Y,$ ако $f:X\to Y$ е релативно отворено (соодветно, релативно затворено, силно отворено, силно затворено, континуирано, сурјективно) пресликување, тогаш истото важи и за неговото ограничување (рестрикцијата) $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ на $f$ - заситеното подмножество $f^{-1}(T).$

Категориската сума на две отворени пресликувања е отворено, а на две затворени пресликувања е затворено пресликување.^[14] Категорискиот производ на две отворени пресликувања е отворено пресликување, меѓутоа, категорискиот производ на две затворени пресликувања не мора да биде затворено пресликување.^[14]^[15]

Биективно пресликување е отворено ако и само ако е затворено. Инверзната слика на биективно непрекинато пресликување е биективно отворено/затворено пресликување (и обратно). Сурјективно отворено пресликување не е нужно затворено пресликување, и слично, сурјективно затворено пресликување не мора да е отворено пресликување. Сите локални хомеоморфизми, вклучувајќи ги сите координатни дијаграми на многуобразија и сите покривања, се отворени пресликувања.

Лема за затворено пресликување: Секое пресликување од компактен простор во Хаусдорфов простор е затворено и правилно (инверзната слика на секое компактно множество е компактно).

Една варијанта на лемата за затворено пресликување наведува дека ако непрекината функција помеѓу локално компактни Хаусдорфови простори е правилно, тогаш тоа е исто така затворено.

Во комплексната анализа, идентично именуваната теорема за отворено пресликување наведува дека секоја неконстантна холоморфна функција дефинирана на сврзано отворено подмножество од комплексната рамнина е отворено пресликување.

Теоремата за инвариантност на доменот наведува дека непрекинато и локално инјективно пресликување помеѓу две $n$ -димензионални тополошки многуобразија мора да биде отворено.

Инваријантност на доменот: Ако $U$ e отворено множество во $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ и непрекината инјекција, тогаш $V=f(U)$ e oтворено во $\mathbb {R} ^{n}$ и е хомеоморфизам меѓу $U$ и $V.$

Во функционалната анализа, теоремата за отворено пресликување наведува дека секој сурјективен непрекинат линеарен оператор помеѓу Банахови простори е отворено пресликување. Оваа теорема е генерализирана на тополошки векторски простори кои не мора да се Банахови простори.

Сурјективно пресликување $f:X\to Y$ се нарекува скоро отворено пресликување ако за секој $y\in Y$ постои некој $x\in f^{-1}(y)$ така што $x$ е точка на отвореност за $f,$ што по дефиниција значи дека за секоја отворена околина $U$ на $x,$ $f(U)$ е околина на $f(x)$ во $Y$ (приметете дека околината $f(U)$ не се бара да биде to be an отворена околина). Секое сурјективно отворено пресликување е скоро отворено. Но, во општ случај обратното не е точно. Ако некоја сурјекција $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ е скоро отворено пресликување, тогаш таа ќе биде отворено пресликување ако го задоволува следниов услов (кој никако не зависи од топологијата $\sigma$ на $Y$ ):

ако

m,n\in X

припаѓаат на истото влакно од

f

(т.е.

f(m)=f(n)

), тогаш за секоја околина

U\in \tau

на

m,

постои некоја околина

V\in \tau

на

n

така што

F(V)\subseteq F(U).

Ако пресликувањето е непрекинато, тогаш горенаведениот услов е неопходен и за пресликувањето да биде отворено. Тоа значи, ако $f:X\to Y$ е непрекината сурјекција, тогаш таа е отворено пресликување ако и само ако е речиси отворено и го задоволува горенаведениот услов.

Својства

Отворени или затворени пресликувања кои се непрекинати (континуирани)

Пресликување $f:X\to Y$ се нарекува oтворено пресликување или силно отворено пресликување ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:

ако $f$ $f$ е сурјекција, тогаш тоа е фактор-пресликување, па дури и наследно фактор-пресликување,
- Сурјективно пресликување $f:X\to Y$ се нарекува hereditarily quotient ако за секое подмножество $T\subseteq Y,$ ограничувањето $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ е фактор-пресликување.
ако $f$ е инјекција, тогаш тоа е тополошко вградување.
ако $f$ е биекција, тогаш тоа е хомеоморфизам.

Во првите два случаја, отвореноста или затвореноста е само доволен услов за заклучокот што следи. Во третиот случај, тоа е и потребен услов.

Отворени непрекинати пресликувања

Ако $f:X\to Y$ е непрекинато (строго) отворено пресликување, $A\subseteq X,$ и $S\subseteq Y,$ тогаш:

$f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)$ каде $\operatorname {Bd}$ e границата (работ) на множество.
$f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}$ каде ${\overline {S}}$ e затворачот (атхеренцијата) на множеството ${S}$ .
Ако ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ каде $\operatorname {Int}$ e внатрешноста на множеството ${S}$ , тогаш ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$ каде множеството ${\overline {f(A)}}$ мора да биде регуларно затворено множество (во $Y$ ). Специјално, ако $A$ е регуларно затворено множество, тогаш такво е и ${\overline {f(A)}}.$ Aко и $A$ е регуларно отворено множество, тогаш такво е и $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
Ако непрекинатото отворено пресликување $f:X\to Y$ е и сурјективно, тогаш $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ и уште повеќе $S$ е регуларно отворено (затворено) множество во $Y$ ако и само ако $f^{-1}(S)$ е регуларно отворено (затворено) множество во $X.$
Ако мрежата $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ конвергира во $Y$ кон точка $y\in Y$ и ако непрекинатото отворено пресликување $f:X\to Y$ е сурјективно, тогаш за секој $x\in f^{-1}(y)$ постои мрежа $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ во $X$ (индексирана со некое насочено множество $A$ ) така што $x_{\bullet }\to x$ во $X$ и $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ е подмрежа од $y_{\bullet }.$ Уште повеќе, индексирачкото множествоthe $A$ може да се земе да биде $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ со подредување на производот каде ${\mathcal {N}}_{x}$ е која било база на околини на $x$ насочена со $\,\supseteq .\,$

Белешки

Множество $S\subseteq X$ се вика регуларно затворено множество ако ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или, еквивалентно, ако $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ кадe $\operatorname {Bd} S$ ( $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) означува тополошка граница (внатрешност, затворач) на $S$ во $X.$ множеството $S$ се вика регуларно отворено множество ако $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ или еквивалентно, ако $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ Внатрешноста (земена во $X$ ) на затворено множество во $X$ секогаш е регуларно отворено множество вo $X.$ Затворачот (земен во $X$ ) на отворено множество вo $X$ секогаш е регуларно затворено множество вo $X.$

Наводи

↑ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd. изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
1 2 Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third. изд.). Dover. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Важно е да се запомни дека Теоремата 5.3 гласи дека функција $f$ е непрекината ако и само ако инверзната слика на секое отворено множество е отворено множество. Оваа карактеризација на непрекинатоста не треба да се меша со едно друго својство кое функцијата може, но не мора да го поседува, а тоа е својството дека сликата на секое отворено множество е отворено множество (таквите функции се викаат отворени пресликувања).
1 2 3 Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 218. Springer Science & Business Media. стр. 550. ISBN 9780387954486. Пресликување $F:X\to Y$ (непрекинато или не) се вели дека е отворено пресликување ако за секое отворено подмножество $U\subseteq X,$ $F(U)$ е отворено во $Y,$ и затворено пресликување ако за секое затворено подмножество $K\subseteq U,$ $F(K)$ е отворено во $Y.$ Непрекинатите пресликувања може да бидат отворени, затворени, и отворени и затворени или ниту отворени ниту затворени што може да се види со разгледување на прости примери со подмножества од рамнината.
1 2 Ludu, Andrei (15 January 2012). Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces. Springer Series in Synergetics. стр. 15. ISBN 9783642228940. „Отворено пресликување“ е функција помеѓу два тополошки простора која отворените множества ги пресликува во отворени множества. Слично, „затворено пресликување“ е функција која затворени множества пресликува во затворени множества. Отворените и затворените пресликувања не мора да бидат непрекинати.
↑ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis. Springer Science & Business Media. стр. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)
↑ Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Dover Books on Mathematics (reprint. изд.). Courier Corporation. стр. 18. ISBN 9780486153445. Вежба 1-19. Докажи дека проекцијата $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ е отворено пресликување, но не мора да е затворено пресликување. Помош: Проекцијата $\pi _{i}$ на $\mathbb {R} ^{2}$ врз $\mathbb {R}$ не е затворено пресликување. Слично, затворено пресликување не мора да е отворено пресликување бидејќи секое константно пресликување е затворено. За пресликувањата кои се инјекции и сурјекции, концептите за 'oтворено' и 'затворено' сe eквивалентни.
↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third. изд.). Dover. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Има многу ситуации кога функција $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ го има својството: за секое отворено подмножество $A$ oд $X,$ множеството $f(A)$ е отворено подмножество oд $Y,$ а сeпак $f$ не е непрекинато.
↑ Boos, Johann (2000). Classical and Modern Methods in Summability. Oxford University Press. стр. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.
↑ Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory. Springer Science & Business Media. стр. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).
↑ Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., уред. (2004). Encyclopedia of General Topology. Elsevier. стр. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].
1 2 3 Narici & Beckenstein 2011, стр. 225-273.
↑ Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
↑ Lee, John M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 218 (Second. изд.). стр. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Архивирано од изворникот на 2022-10-13. Посетено на 2025-05-23. Вежба A.32. Нека $X_{1},\ldots ,X_{k}$ се тополошки простори. Докажи дека секоја проекција $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ е отворено пресликување.
1 2 James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. стр. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.
↑ Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Infinite Homotopy Theory. K-Monographs in Mathematics. 6. стр. 53. ISBN 9780792369820. Композиција на отворени пресликувања е отворено пресликување, а Композиција на затворени пресликувања е затворено пресликување. Исто така, производ на отворени пресликувања е отворено пресликување. Обратно, производ на затворени пресликувања не мора да биде затворено пресликување,...

[DefOfRegularOpenClosed-16] Множество $S\subseteq X$ се вика регуларно затворено множество ако ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или, еквивалентно, ако $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ кадe $\operatorname {Bd} S$ ( $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) означува тополошка граница (внатрешност, затворач) на $S$ во $X.$ множеството $S$ се вика регуларно отворено множество ако $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ или еквивалентно, ако $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ Внатрешноста (земена во $X$ ) на затворено множество во $X$ секогаш е регуларно отворено множество вo $X.$ Затворачот (земен во $X$ ) на отворено множество вo $X$ секогаш е регуларно затворено множество вo $X.$

[1] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd. изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[mendelson-2] 1 2 Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third. изд.). Dover. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Важно е да се запомни дека Теоремата 5.3 гласи дека функција $f$ е непрекината ако и само ако инверзната слика на секое отворено множество е отворено множество. Оваа карактеризација на непрекинатоста не треба да се меша со едно друго својство кое функцијата може, но не мора да го поседува, а тоа е својството дека сликата на секое отворено множество е отворено множество (таквите функции се викаат отворени пресликувања).

[lee550-3] 1 2 3 Lee, John M. (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 218. Springer Science & Business Media. стр. 550. ISBN 9780387954486. Пресликување $F:X\to Y$ (непрекинато или не) се вели дека е отворено пресликување ако за секое отворено подмножество $U\subseteq X,$ $F(U)$ е отворено во $Y,$ и затворено пресликување ако за секое затворено подмножество $K\subseteq U,$ $F(K)$ е отворено во $Y.$ Непрекинатите пресликувања може да бидат отворени, затворени, и отворени и затворени или ниту отворени ниту затворени што може да се види со разгледување на прости примери со подмножества од рамнината.

[ludu15-4] 1 2 Ludu, Andrei (15 January 2012). Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces. Springer Series in Synergetics. стр. 15. ISBN 9783642228940. „Отворено пресликување“ е функција помеѓу два тополошки простора која отворените множества ги пресликува во отворени множества. Слично, „затворено пресликување“ е функција која затворени множества пресликува во затворени множества. Отворените и затворените пресликувања не мора да бидат непрекинати.

[5] Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis. Springer Science & Business Media. стр. 203. ISBN 9780817642112. Now we are ready for our examples which show that a function may be open without being closed or closed without being open. Also, a function may be simultaneously open and closed or neither open nor closed. (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.)

[6] Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Dover Books on Mathematics (reprint. изд.). Courier Corporation. стр. 18. ISBN 9780486153445. Вежба 1-19. Докажи дека проекцијата $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ е отворено пресликување, но не мора да е затворено пресликување. Помош: Проекцијата $\pi _{i}$ на $\mathbb {R} ^{2}$ врз $\mathbb {R}$ не е затворено пресликување. Слично, затворено пресликување не мора да е отворено пресликување бидејќи секое константно пресликување е затворено. За пресликувањата кои се инјекции и сурјекции, концептите за 'oтворено' и 'затворено' сe eквивалентни.

[mendelson2-7] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third. изд.). Dover. стр. 89. ISBN 0-486-66352-3. Има многу ситуации кога функција $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ го има својството: за секое отворено подмножество $A$ oд $X,$ множеството $f(A)$ е отворено подмножество oд $Y,$ а сeпак $f$ не е непрекинато.

[8] Boos, Johann (2000). Classical and Modern Methods in Summability. Oxford University Press. стр. 332. ISBN 0-19-850165-X. Now, the question arises whether the last statement is true in general, that is whether closed maps are continuous. That fails in general as the following example proves.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory. Springer Science & Business Media. стр. 115. ISBN 9780817649982. In general, a map $F:X\to Y$ of a metric space $X$ into a metric space $Y$ may possess any combination of the attributes 'continuous', 'open', and 'closed' (that is, these are independent concepts).

[10] Hart, K. P.; Nagata, J.; Vaughan, J. E., уред. (2004). Encyclopedia of General Topology. Elsevier. стр. 86. ISBN 0-444-50355-2. It seems that the study of open (interior) maps began with papers [13,14] by S. Stoïlow. Clearly, openness of maps was first studied extensively by G.T. Whyburn [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225-273-11] 1 2 3 Narici & Beckenstein 2011, стр. 225-273.

[12] Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0486131785.

[13] Lee, John M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 218 (Second. изд.). стр. 606. doi:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. Архивирано од изворникот на 2022-10-13. Посетено на 2025-05-23. Вежба A.32. Нека $X_{1},\ldots ,X_{k}$ се тополошки простори. Докажи дека секоја проекција $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ е отворено пресликување.

[james49-14] 1 2 James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. стр. 49. ISBN 9781461382836. ...let us recall that the composition of open maps is open and the composition of closed maps is closed. Also that the sum of open maps is open and the sum of closed maps is closed. However, the product of closed maps is not necessarily closed, although the product of open maps is open.

[baues55-15] Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Infinite Homotopy Theory. K-Monographs in Mathematics. 6. стр. 53. ISBN 9780792369820. Композиција на отворени пресликувања е отворено пресликување, а Композиција на затворени пресликувања е затворено пресликување. Исто така, производ на отворени пресликувања е отворено пресликување. Обратно, производ на затворени пресликувања не мора да биде затворено пресликување,...

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]