Ортогонални функции

Во математиката, ортогоналните функции припаѓаат на функционален простор, кој всушност претставува векторски простор со билинеарна форма. Кога функционалниот простор има интервал како домен, билинеарната форма може да биде интеграл од производот на функциите низ интервалот:

$\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.$

Функциите $f$ и $g$ се ортогонални кога овој интеграл е нула, т.е. $\langle f,\,g\rangle =0$ кога и да е $f\neq g$. Како и со основата на вектори во конечно-димензионален простор, ортогоналните функции може да формираат бесконечна основа за функционален простор. Горенаведениот интеграл е еквивалент на векторски скаларен прозвод, односно два вектори се меѓусебно независни (ортогонални) ако нивниот скаларен производ е еднаков на нула.

Тригонометриски функции

Некое множества ортогонални функции имаат станато стандардни основи за апроксимација на функции. На пример, синусните функции sin nx и sin mx се ортогонални на интервалот $x\in (-\pi ,\pi )$ кога $m\neq n$ и n и m се позитивни цели броеви. Тогаш:

$2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),$

и интегралот на производот на двете синусни функции исчезнува. Заедно со косинусните функции, овие ортогонални функции можат да се соберат во тригонометриски полином за да дадена функција да се апроксимира на интервалот со нејзиниот Фурјеов ред.

Полиноми

Ако се започне со мономната низа $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ на интервалот $[-1,1]$ и се примени Грам-Шмитовиот процес, се добиваат Лежандровите полиноми . Друго множество на ортогонални полиноми се придружените Лежандрови полиноми.

Проучувањето на ортогоналните полиноми вклучува и тежински функции $w(x)$ кои се внесуваат во билинеарна форма:

$\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.$

За Лагеровите полиноми на интервалот $(0,\infty )$, функцијата на тежината е $w(x)=e^{-x}$.

Во физиката, како и во теоријата на веројатност се користат Ермитови полиноми на интервалот $(-\infty ,\infty )$, каде што функцијата на тежината е $w(x)=e^{-x^{2}}$ или $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ .

Чебишевите полиноми се дефинирани на $[-1,1]$ и користат тежински фунцкии ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ или ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ .

Зерникеовите полиноми се дефинирани на единичниот диск и се ортогонални на радијалните и на аголните делови.