Неравенство на Птоломеј

Во Евклидовата геометрија, неравенството на Птоломеј е релација помеѓу шесте растојанија определени од четири точки во рамнина или во простор со повисоки димензии. Тоа гласи: за кои било четири точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , важи следновонеравенство:

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.

Именувано е по древниот астроном и математичар Птоломеј.

Четирите точки можат да се подредат на кој било од три различни начини (сметајќи дека не е важен редоследот) за да формираат три различни четириаголници, и за секој од нив збирот на производите на спротивните страни е не е помал од производот на дијагоналите. Така, трите члена на производот во неравенството можат адитивно да се пермутираат за да се стави кој било од нив на десната страна од неравенството, така што трите производи на спротивните страни или на дијагоналите на кој било од четириаголниците мора да го задоволуваат неравенството на триаголник. ^[1]

Како посебен случај, теоремата на Птоломеј наведува дека неравенството станува равенство кога четирите точки лежат во цикличен редослед на кружница. Друг случај кога се добива равенство е кога четирите точки се колинеарни по редослед. Неравенството не се генерализира од Евклидовите простори на произволни метрички простори. Просторите каде што останува валидно се нарекуваат Птоломејски простори; тие ги вклучуваат просторите со внатрешен (скаларен) производ, Адамардовите простори и растојанијата на најкратките патеки на Птоломејските графови.

Претпоставки и изведување

Неравенството на Птоломеј често се наведува како посебен случај во кој четирите точки се темиња на конвексен четириаголник дадени во цикличен редослед.^[2]^[3] Сепак, теоремата се однесува поопшто на кои било четири точки; не е потребно четириаголникот што го формираат да биде конвексен, едноставен или дури и рамнински.

За точки во рамнината, Неравенството на Птоломеј може да се изведе од неравенството на триаголник преку инверзија со центар во една од четирите точки. ^[4] Алтернативно, може да се изведе со толкување на четирите точки како комплексни броеви, користејќи го идентитетот за комплексните броеви:

(A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D)

да се конструира триаголник чии должини на страните се производи од страните на дадениот четириаголник, и со примена на Неравенството на триаголник на овој триаголник.^[5] Исто така, може да се гледаат точките како да припаѓаат на комплексната проективна права, да се изрази неравенството во следнава форма: апсолутните вредности на два дојни односи на точките имаат збир најмалку еден и ова да се заклучи од фактот дека самите двојни односи имаат збир точно еден.^[6]

Доказот за нееднаквоста за точки во тридимензионален простор може да се сведе на рамнински случај, со набљудување дека за секој нерамнински четириаголник, можно е да се ротира една од точките околу дијагоналата сè додека четириаголникот не стане рамнински, зголемувајќи ја должината на другата дијагонала и одржувајќи ги другите пет растојанија константни.^[5] Во простори со димензија поголема од три, кои било четири точки лежат во тридимензионален потпростор, и може да се користи истиот тридимензионален доказ.

Четири конциклични точки

За четири точки подредени на кружница, неравенството на Птоломеј станува равенство познато како теорема на Птоломеј:

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.

Во доказот за неравенството на Птоломеј кој се базира на инверзија, трансформирањето на четири кокружни точки со инверзија центрирана во една од нив предизвикува другите три точки да станат колинеарни, па така неравенството на триаголник за овие три точки (од кое може да се изведе неравенството на Птоломеј) исто така станува равенство.^[4] За кои било други четири точки, неравенството на Птоломеј е строго.

Во три димензии

Четири некомпланарни точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ во 3D формираат тетраедар. Во овој случај, важи строгото неравенство:

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ . ^[7]

Во општи метрички простори

Неравенството на Птоломеј важи поопшто во кој било простор со внатрешен (скаларен) производ,^[1] ^[8] и секогаш кога е точно за реален нормиран векторски простор, тој простор мора да биде простор со внатрешен производ. ^[8] ^[9]

За други типови метрички простори неравенството на Птоломеј може, но не мора да важи. Просторот во кој тоа важи се нарекува Птоломејски. На пример, разгледајте го цикличниот граф со четири темиња, прикажан на сликата, со сите должини на рабовите еднакви на 1. Збирот на производите на спротивните страни е 2. Сепак, дијагонално спротивните темиња се на растојание од 2 едни од други, па затоа производот на дијагоналите е 4, поголем од збирот на производите на страните. Затоа, растојанијата на најкратките патеки во овој граф не се Птоломејски. Графовите во кои растојанијата го задоволуваат неравенството на Птоломеј се нарекуваат Птоломејски графови и имаат ограничена структура во споредба со произволните графови; поточно, во нив тие не може да има индуцирани циклуси со должина поголема од три, како што е прикажаниот. ^[10]

Птоломејските простори ги вклучуваат сите CAT(0) простори и особено сите Адамарови простори . Ако комплетно Риманово многуобразие е Птоломејско, тоа мора да биде Адамаров простор.^[11]

Простори со внатрешен производ

Да претпоставиме дека $\|\cdot \|$ е норма на векторскиот простор $X.$ Тогаш оваа норма го задоволува неравенството на Птоломеј: $\|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ за сите вектори }}x,y,z.$ ако и само ако постои внатрешен производ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $X$ така што $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ за сите вектори $x\in X.$ ^[12] Друг неопходен и доволен услов за да постои таков внатрешен производ е нормата да го задоволува законот за паралелограм: $\|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ за сите вектори }}x,y.$ Ако тоа важи, тогаш овој внатрешен производ ќе биде уникатен и може да се дефинира во однос на нормата со користење на идентитетот на поларизација.

Наводи

1 2 Schoenberg, I. J. (1940), „On metric arcs of vanishing Menger curvature“, Annals of Mathematics, Second Series, 41 (4): 715–726, doi:10.2307/1968849, JSTOR 1968849, MR 0002903. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „s40“ е зададен повеќепати со различна содржина.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), „6.1 Ptolemy's inequality“, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, стр. 82–83, ISBN 9780883853429.
1 2 Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, уред. (2008), „Problem 7 (Ptolemy's Inequality)“, A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, стр. 18, ISBN 9780821846834. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „bmc“ е зададен повеќепати со различна содржина.
1 2 Apostol 1967.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
1 2 Giles, J. R. (2000), „Exercise 12“, Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, стр. 47, ISBN 9780521653756.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.
↑ Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[s40-1] 1 2 Schoenberg, I. J. (1940), „On metric arcs of vanishing Menger curvature“, Annals of Mathematics, Second Series, 41 (4): 715–726, doi:10.2307/1968849, JSTOR 1968849, MR 0002903. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „s40“ е зададен повеќепати со различна содржина.

[2] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[3] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), „6.1 Ptolemy's inequality“, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, стр. 82–83, ISBN 9780883853429.

[bmc-4] 1 2 Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, уред. (2008), „Problem 7 (Ptolemy's Inequality)“, A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, стр. 18, ISBN 9780821846834. Грешка во наводот: Неважечка ознака <ref>; називот „bmc“ е зададен повеќепати со различна содржина.

[FOOTNOTEApostol1967-5] 1 2 Apostol 1967.

[6] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[7] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[nls-8] 1 2 Giles, J. R. (2000), „Exercise 12“, Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, стр. 47, ISBN 9780521653756.

[9] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[10] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[11] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[12] Steele, J. Michael (2004), „Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)“, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 9780521546775.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]