Мултипликативен Холт-Винтеров метод

Од Википедија — слободната енциклопедија
Прејди на прегледникот Прејди на пребарувањето

Мултипликативен Холт-Винтеров метод[уреди | уреди извор]

Холт-Винтер е етикетата која вообичаено им се дава на сет постапки кои го формираат јадрото на фамилијата методи за предвидување на експоненцијалното порамнување. Темелите биле поставени од Холт во 1957 и неговиот ученик Винтер во 1960 година. Многу компании го користат Холт-Винтеровиот метод со цел да ја предвидат побарувачката на краток рок, кога нивните податоци за продажбата содржат тренд и сезонска варијација. Повеќе од 50 години стар, овој метод е многу популарен бидејќи е едноставен, не бара многу податоци и лесно се автоматизира. Исто така, ја има предноста на лесно приспособување на промените во трендот и сезонските варијации, кога тие ќе се случат. Ова значи дека намалувањата или зголемувањата на побарувачката, или промената на однесувањето на потрошувачите во различни периоди во годината, можат да бидат приспособени. Тоа се прави преку ажурирање на проценките во овие шаблони веднаш штом ќе пристигнат новите цифри од продажбите. Со текот на годините, Холт-Винтеровиот метод бил приспособен за употреба во низа важни ситуации кои не биле првично истражувани од неговите основачи.

Два Холт-Винтер методи

Постојат два Холт-Винтер методи (анг.Holt-Winters methods) кои меѓусебно се разликуваат по природата на сезонската компонента. И двата се дизајнирани за серии кои имаат праволиниски тренд (ако трендот не е застапен во целата серија, треба да биде застапен барем во дел од серијата). Првиот се нарекува адитивен Холт-Винтеров метод (анг.additive Holt-Winters method) и тој се употребува кај временските серии кои имаат константна (адитивна) сезонска варијација. Тој е линеарен метод и со него сезонската компонента е изразена во апсолутна смисла во набљудуваната временска серија, а во равенката серијата е приспособена со одземање на сезонската компонента. Вториот метод се вика мултипликативен Холт-Винтеров метод (анг.multiplicative Holt-Winters method) и истиот се користи кај временски серии што имаат растечка (мултипликативна) сезонска варијација. Временската серија која има променлива сезонска варијација треба да се трансформира за да се добие серија која има константна сезонска варијација. Мултипликативниот Холт-Винтер метод не бара ваква трансформација во случај на временска серија со растечка варијација поради тоа што овој метод директно ја моделира сезонската варијација. Тој е повеќе познат и користен и му се дава предност пред адитивниот Холт-Винтер метод.

Мултипликативниот Холт-Винтеров метод

Доколку временската серија има праволиниски тренд со фиксна стапка на раст β1 и сезонска варијација St, со растечка (мултипликативна) варијација, тогаш таа може да се опише со мултипликативниот модел:

y_t=(β_0+β_1∙├ t)∙S_t∙R_t ┤

Во оваа равенка, средната вредност за период n-1 е β0 + β1 • (n-1), додека средната вредност за период n е β0 + β1 • n, каде што стапката на раст е претставена со β1. Соодветна примена на мултипликативниот Холт-Винтер метод има кога временската серија има линеарен (праволиниски) тренд со мултипликативна сезонска варијација, каде што средната вредност, стапката на раст и сезонската варијација би се менувале наместо да бидат фиксирани. За тој да се примени, најпрво се означува оценката на средната вредност со ln-1, за период n-1. Оценката на стапката на раст за период n-1 се означува со bn-1. Понатаму, yn нека биде ново набљудување во временската серија за период n и sn-L нека биде најскорешната оцена на сезонскиот индекс, за сезоната која соодветствува со периодот n. L го означува бројот на сезони во годината (при што L = 12 за месечни податоци и L = 4 за квартални податоци), а n-L го означува периодот кој што се јавува една година пред периодот n. Индексот n-L од sn-L означува дека вредноста на серијата за периодот n - L e последната вредност во серијата за сезоната која се анализира и со тоа оваа вредност ја претставува најскорешната вредност која се употребува за да се добие sn-L. Оттука, оценката на средната вредност на временската серија за периодот n ја користи порамнувачката константа α и е еднаква на:

l_n=α(y_n/├ s_(n-L) ) ┤+(1┤-├ α)(l_(n-1)+├ b_(n-1) ) ┤

Оценката на стапката на раст за периодот n ја користи порамнувачката константа γ и е еднаква на:

b_n=γ(l_n-├ l_(n-1) )+(1┤-├ γ) b_(n-1) ┤

Оценката на сезонскиот индекс St за периодот n ја користи порамнувачката константа δ и е еднаква на:

s_n=δ(y_n/├ l_n )+(1┤-├ δ) s_(n-L) ┤

Трите претходно наведени равенки се нарекуваат порамнувачки равенки, додека пак коефициентите α, γ и δ се порамнувачки константи кои можат да се движат од 0 до 1. Равенките можат да се запишат во образец за корекција на грешка. Со користење на образецот за корекција на грешка не се менува изборот на порамнувачките параметри со кои се минимизира збирот на грешките во предвидувањето. Образецот за корекција на грешка за равенките за порамнувањe на мултипликативниот Холт-Винтеров модел е:

l_n= l_(n-1)+ b_(t-1)+ α ([y_n ┤- (l_(n-1)+b_(n-1))├ s_(n-L) ] ┤ )/s_(n-L)

b_n=b_(n-1)+αγ [y_n-(l_(n-1)+├ b_(n-1) )├ s_(n-L) ] ┤ ┤/s_(n-L)

s_n=s_(n-L)+(1┤-├ α)δ [y_n-(l_(n-1)+├ b_(n-1) )├ s_(n-L) ] ┤ ┤/l_n

За понатамошно предвидување, потребно е да се најдат иницијалната средна вредност l0, стапката на раст b0, како и сезонските фактори s-3, s_2, s_1 и s_0. Потребни се податоци за половина од временската серија за да се најдат вредностите за иницијалните сезонски фактори. Се користи проста праволиниска регресија во Microsoft Excel според методот на најмали квадрати, во кој се добиваат вредностите за иницијалната средна вредност (l0) и стапката на раст (b0). Регресиската равенка е следнава:

y_t^*=l_0+b_0∙t

Иницијалните сезонски индекси се пресметуваат во неколку чекори. Најпрво се користи регресиската равенка за да се најдат вредностите за yt*. Тие се добиваат кога наместо вредноста t, во регресиската равенка се заменуваат вредностите од оние набљудувања од соодветниот период кои биле вклучени во изнаоѓањето на регресиските коефициенти. Во вториот чекор се врши отстранување на трендот, односно St = yt/yt*. Потоа се пресметуваат просечните сезонски вредности поединечно за секоја од четирите сезони, со што и L = 4 (доколку се пресметува на месечно ниво, ќе се пресметуваат просечните месечни вредности и L = 12). Овие просечни вредности се означуваат како Ś[1], Ś[2], Ś[3] и Ś[4] и се пресметуваат како просек од вредностите од кои е отстранет трендот за соодветната сезона. Во последниот четврти чекор се спроведува постапката на нормализирање на просечните сезонски вредности. Поради тоа што во годината има четири сезони (L = 4), потребно е и збирот на просечните сезонски индекси исто така да изнесува 4. Откако ќе се добијат иницијалните вредности за средната вредност, стапката на раст и четирите сезонски индекси, може да се користат равенките за порамнување. Најпрво се пресметува предвидената вредност за y1 која изнесува:

y_1=(l_0+├ b_0 ) s_(1-4) ┤

Разликата меѓу оригиналната и предвидената вредност изнесува: y1- ŷ1 За да може да се пресметаат вредностите за останатите периоди од серијата, се одредуваат произволни вредности за α, γ и δ (од 0 до 1), но добри вредности за нив се оние кои ја минимизираат сумата на квадратните грешки на предвидувањето. За да се најдат најдобрите вредности, се користи функцијата Solver во Microsoft Excel.

Потоа следува постапката за пресметување на точкести оценки и интервали на доверба за временската серија за следната година. Точкестата оцена за ŷt се добива со следната формула:

ŷ_(n+T)=(l_n+├ T_n^b ) s_(n+T-L) ┤ T = (1, 2,…)

каде што со L се означува бројот на сезони во серијата, додека n се однесува на последниот период за кој постојат оценки за средната вредност, стапката на раст и сезонските индекси. За пресметување на интервалите на доверба се користи релативната стандардна грешка sr наместо вообичаената стандардна грешка s.


〖s_r=√((∑_(t=1)^n▒[(y_t-ŷ_t)/ŷ_t ] )/(n-3))=√((∑_(t=1)^n▒[(y_t-(l_(t-1)+├ b_(t-1) ) s_(t-L) ┤)/((l_(t-1)+├ b_(t-1) ) ┤ s_(t-1) )] )/(n-3))〗^2


Интервалите на доверба со ниво на сигурност од 95% се пресметуваат по следниве формули: ŷ_(n+T)-z_(0,05/2Sr) (√(2&C)├ T)(s_(n+T-L) ┤ ┤)<ŷ_(n+T)<ŷ_(n+T)+z_(0,05/2Sr) (√(2&C)├ T)(s_(n+T-L))┤ ┤

ако T = 1 тогаш c1 = (ln+bn)2 ако T = 2 тогаш c2 = a2(1+γ)2(ln+bn)2 + (ln+2bn)2 ако τ = 3 тогаш c3 = a2(1+2γ)2(ln+bn)2 + a2(1+γ)2(ln+2bn)2 + (ln+3bn)2

ако 2 ≤ τ ≤ L тогаш c_T=∑_(j=1)^(τ-1)▒α^2 (1┤+ [τ┤-├ j] 〖γ)〗^2 (l_n+├ 〖jb〗_n ) ┤ ^2+ (l_n+ ├ 〖τb〗_n ) ┤ ^2= = α^2 (1┤+ [τ┤-├ j] 〖γ)〗^2 (l_n+ ├ 〖jb〗_n ) ┤ ^2...+ a^2 (1┤+├ γ) ^2 (l_n+[τ┤-├ 1]├ b_n ) ┤ ^2+(l_n+├ 〖τb〗_n ) ┤ ^2 cƮ е еден вид корективен фактор на релативната стандардна грешка.

Проширувања на класичниот Холт-Винтер метод

Поради тоа што Холт-Винтер методот претставува еден од главните пристапи за предвидување на бизнисот, неодамна бил проширен со цел да се занимава со три проблематични области. Првата се однесува на присуството на неочекувани вредности. Доколку не бидат земени во предвид, тие можат да ја искриват Холт-Винтер прогнозата. Втората го претставува протегањето на многубројните сезонски циклуси. Традиционалниот ХВ метод можел да врши пресметки само за единствен сезонски модел. Третата е потребата од интервали за предвидување, кои, помеѓу другото, влијаат врз безбедноста на пресметките на акциите. Традиционалните Холт-Винтер интервали вообичаено се многу тесни, водејќи не да мислиме дека нашите прогнози се попрецизни отколку што навистина се. Џејмс Тејлор (James Taylor) го проширил вообичаениот Холт-Винтеров метод да работи и со двојни и со тројни сезонски циклуси. Неговите проширувања едноставно воведуваат дополнителна порамнувачка равенка и дополнителна порамнувачка константа за секој екстра циклус. Од спроведените тестирања, тој утврдил дека методот со троен циклус бил попрецизен од Холт-Винтер верзиите со помалку циклуси. И после повеќе од 50 години, истражувачите сеуште наоѓаат начини да го подобрат Холт-Винтеровиот метод и да ги прошират условите каде истиот може да биде применет. Ваквиот континуиран интерес ја потврдува способноста на методот да поставува издржливи прогнози без жртвување на едноставноста и транспарентноста.


Извори

1. http://otexts.com/fpp/7/5/

2. http://www.forecasters.org/pdfs/foresight/free/Issue19_goodwin.pdf

3. Ристески, С., Тевдовски Д., Трпкова М., 2012. Вовед во анализата на временските серии, УКИМ - Скопје